权方和不等式
数学不等式
权方和不等式是一个数学中重要的不等式。其证明需要用到赫尔德不等式（Hölder），可用于放缩的方法求最值（极值）、证明不等式等。
基本信息
简介
权方和不等式
是一个数学中重要的不等式。
形式
对于：
其中n是正整数。
取等号的条件：当且仅当时等号成立。
证明
其证明需要用到赫尔德（Hölder）不等式。
赫尔德不等式
（特殊情形）
对于实数p和q，若p≥1，q＜+∞，且，
则对于所有实数或复数和
恒有（简写作）；
当且仅当时，等号成立。
第一式证明
∵，
∴m＞0或m＜－1。
（1）设，，，。
m＞0时，p＞1，q＜+∞成立，且。
∴对于，恒有：，
也就是。
不等式两边同时取(m+1)次幂，得到：
；不等式两边同时除以，就得到
，第一式得证。
（2）另设，，，
当m＜－1，q＜+∞成立，且。
∴对于，恒有：
也就是。
不等式两边同时取m次幂，此时不等号方向改变：
；不等式两边取倒数（不等号方向改变）再同乘，即得：
，第一式得证。
第二式证明
m仅－1和0两种取值。
m=0时，原式简化为，显然成立；
m=－1时，原式简化为，显然成立。
第二式得证。
第三式证明
设，，，。
当时，。
此时p＞1，q＜+∞成立，。
∴对于，恒有：，
也就是。把负数指数幂换成分数形式，不等式左右两边交换，不等号变号，即得
，
第三式得证。
证毕。
取等号的条件
赫尔德不等式取等号的条件是：
当且仅当时等号成立。
所以第一式中，取等号的条件分别是：
当m＞0时：。
当m＜－1时：。
第三式中，取等号的条件是：
当时：
或。
由于、都是正数（也正因为这样，利用赫尔德不等式证明权方和不等式时才能把绝对值符号去掉），所以可以分别通过开(m+1)、m、－1次方简化为：
时等号成立。
其他信息
进一步说明
权方和不等式是在高中竞赛中很有用的一个不等式，常用来处理分式不等式。
它和赫尔德不等式的特殊情形是等价关系。
其中m称为不等式的权，特点是分子次数比分母高一次。
当m=1时，不等式即为，是柯西不等式的分数形式推广，其证明方法是：
欲证原不等式成立，只需证
该不等式等价于（恒等变换为柯西不等式的一般形式）
由柯西不等式的一般形式，得
不等式左边不等式右边，得证。
应用
可用于处理分式不等式、放缩求最值（极值）、证明不等式等方面，对高中数学竞赛有帮助。
参考资料
证明的原始出处:..
最新修订时间：2024-10-11 21:43
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