李括号_微分几何概念 - 线报百科mbji.cn

李括号

微分几何概念

李括号亦称换位子，黎曼几何中的一种运算。李括号即从两个 Cr 向量场得出一个新 Cr-1 向量场的一种运算。

定义

设M为光滑流形，U⊂M为开集，p∈U，X,Y∈𝖃U。定义XpY:𝓕pU→ℝ为(XpY)f:=Xp(Yf)。

则X对Y的李括号为U上向量场[X,Y]，定义为[X,Y]p:=XpY-YpX。

简介

李括号亦称换位子，黎曼几何中的一种运算。

李括号即从两个 Cr 向量场得出一个新 Cr-1 向量场的一种运算。

它可看成 𝒳r(M)×𝒳r(M) 到𝒳r-1(M) 的映射：。使用局部坐标表示：

若

则

从而，是向量场。称为向量场 X 和 Y 的李括号，也称为泊松括号。

性质

李括号具有以下性质：

1、满足反交换律；

2、ℝ双线性；

3、满足雅可比恒等式：( X,Y,Z∈𝒳r(M),2≤r)

因此，以 [ , ] 作为乘法，𝒳∞(M) 成为一个李代数。李括号由此得名。

李括号和抽象指标

李括号是一个这样的映射，它作用于李代数中的两个矢量，结果还是李代数中的一个矢量，用张量的观点，李括号就是这个李代数上的一个 (1,2) 型张量，所以用抽象指标写出来就是。

如果给李代数选好基底，那么这个张量C就有分量，这些分量就是常数的结构常数

希腊字母是编号指标，可以取12345...。英文字母是抽象指标。

参考资料

最新修订时间：2022-09-25 11:15

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