此
方程的解称为加性函数，在有理数
定义域上，利用
初等代数我们很容易得出有一组函数满足条件，是,其中是任意实数。定义域是实数时，同样有一族函数满足条件，但有些是极其复杂的，所以我们需要更多的条件得到，以下条件可得是
正比例函数：
◎是
连续函数（在1821年已被柯西证明），后来在1875年被达布将条件减弱为f在某点连续。
另外，如果没有其他条件的话，（假如承认
选择公理成立），那么有无穷非的函数满足该条件,这是1905年哈默(Georg Hamel)利用哈默基的
概念证明的。
存在实数使得解称为柯西-哈默方程(Cauchy-Hamel function),希尔伯特第三问题中，从3-D向高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量（Dehn-Hadwiger invariant(s)），其中就用到柯西-哈默方程。
, 那么有, 即.
, 那么由, 即.
由于函数连续，且
有理数稠密，不难说明在为任意实数上成立（利用有理数逼近）。
其中,将逼近，不难说明.
以下的证明将显示“其他的解”(若存在)是相当病态(pathological)的函数。我们将证明这个函数f所对应的图在中稠密，亦即在平面上任何给定的圆都至少包含该图形的一个点，我们将从这个定义着手证明。
要构造出
反例，必须承认
选择公理或 Zorn引理，从而当我们把 看成是 上的
线性空间时，它允许我们选出无穷多个元素作为基底，使得每个实数都能写成 以有理数为系数 的有限个基底的
线性组合，称为哈默基(Hamel Basis)。