柯西色散公式_法国数学家柯西发现媒质的折射率与真空中入射光的波长的关系

柯西色散公式

法国数学家柯西发现媒质的折射率与真空中入射光的波长的关系

柯西色散公式（Cauchy's dispersion formula）是指的是法国数学家柯西发现媒质的折射率与真空中入射光的波长的关系。该公式是n(λ)=a+b/λ2+c/λ4。

定义

柯西色散公式指的是法国数学家柯西发现媒质的折射率与真空中入射光的波长的关系。它可以用一个级数表示为：

n(λ)=a+b/λ2+c/λ4。

其中 a,b,c 是三个柯西色散系数，因不同的介质而不同。

只须测定同一物质的三个不同的波长下的折射率n(λ)，代入柯西色散公式中可得到三个联立方程式，解这组联立方程式就可以得到该介质的三个柯西色散系数。有了三个柯西色散系数，就可以计算出其他波长下的折射率不需要再测量。

除了柯西色散公式之外，还有其他的色散公式。如 Hartmann色散公式（哈特曼色散公式）、Conrady色散公式、Hetzberger色散公式等。

推导过程

不妨假设有一列平面波（也就是一束平行光）沿着 z 轴照射到介质表面，平面波的方程为

。

假设这列光波要通过一个厚度为 Δz 的介质，如果在介质中光速为c/n，那么在介质中光就会额外花费一些时间来传播。

于是，在介质之后的光矢量就是

。

于是，在介质之后的光矢量，与原先的光矢量相比，相当于“延后”了一个相位。也就是乘以了一个相位因子。

当光从真空中照射到一种介质（比如玻璃）上，这种介质分子内部的带电粒子，就会受到影响而振荡起来。当然原子核受到各种约束其实是振荡不起来的，振荡起来的只是原子外层的电子。

如果设置介质表面位于 z=0 的地方，那么介质表面处的光矢量就是

。

那么在介质中的电子就受到这样一个回复力进行运动。如果认为原子外层的电子，其运动行为类似于一个弹簧振子（这个假设非常地想当然，但的确是对真实情况的一种很好的近似），那么一个弹簧振子在周期性回复力下表现为一个简谐振动，运动方程为

。

这里，是弹簧振子的固有频率。

这个式子在大学物理课程的运动学部分已经学过。这是一个无阻尼简谐振动的方程，它的解是

。

所有电子都在其平衡位置附近做这样的简谐振动。所有电子同时做这样的简谐振动，就产生了一个整体的振动的场强，从而产生了一个新的光矢量

。（这部分推导比较繁琐，因此略去）

对比一下，可以知道

。

其中，是介质中电子的“固有频率”，是光的频率，反比于光的波长。

到这里可以看出折射率与波长的关系。

把上面式子里无关的常数都放到一起，频率换成波长，可以得到这样的结果：

。

这里，就是与对应的“固有波长”。

对于常见的玻璃来说，在紫外区域。对于可见光波长范围内的都有。按照级数展开，就有

。

由此可见，尽管柯西色散公式是一个经验公式，但确实能够从折射率的微观机理上得到解释。

事实上，透明材料（比如玻璃）往往具有多个不同的固有频率，同时电子的受迫振动也并非简谐振动而是阻尼振动。将这两项因素考虑进上面的推导过程，能得出更接近实际情况的折射率表达式。但对于推导柯西色散公式来说，这里就足够了。

参考资料

最新修订时间：2025-01-14 17:30

条目作者

概述

定义

推导过程

参考资料