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根轴

数学术语

在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。

定义

根轴亦称等幂轴。是一条特殊的直线。指对于不同心两圆有相等幂的点的轨迹。即向不同心两圆引相等切线的点的轨迹，是垂直于两圆连心线的一条直线，该直线称为两圆的根轴。

根轴方程

设两圆O1,O2的方程分别为：

(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0...(1)

(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2=0...(2)

由于根轴上任意点对两圆的圆幂相等，所以根轴上任一点 (x,y) ，有：

(x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=圆幂=(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2。

两式相减，得根轴的方程（即x,y的方程）为2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0，其中f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2，f2类似。

(1)(2)联立的解，是两圆的公共点M(x1,y1)，N(x2,y2)。

如果是两组不等实数解，MN不重合且两圆相交，根轴是两圆的公共弦。

如果是相等实数解，MN重合，两圆相切，方程表示两圆的内公切线。

如果是共轭虚数解，两圆相离，只有代数规律发挥作用，在坐标系内没有实质。称 M,N 是共轭虚点。

尺规作图

两圆相交、相切时，根轴为两圆交点的连线；

内含时，作一适当的圆与两圆相交，这圆与两圆的根轴的交点在根轴上.同理再作一点，两点所在的直线即为根轴（等幂轴）。

定理

1、平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；

2、若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；

3、若两圆相切，则两圆的根轴为它们的公切线；

4、若两圆外离，则两圆的根轴上的点分别引两圆的切线，则切线长相等。从而，根轴必过四条公切线的中点。

5、蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行；

6、反演后的圆和反演圆和被反演的圆3个圆共根轴。

参考资料

最新修订时间：2024-09-19 08:52

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概述

定义

根轴方程

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