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概率分布函数

数学名词

概率分布函数是概率论的基本概念之一。在实际问题中，常常要研究一个随机变量ξ取值小于某一数值x的概率，这概率是x的函数，称这种函数为随机变量ξ的分布函数，简称分布函数，记作F(x)，即F(x)=P(ξ正态分布函数、普阿松分布函数、二项分布函数等等。

函数介绍

概率分布函数是描述随机变量取值分布规律的数学表示。对于任何实数x，事件[X概率，或者说分布函数F(x)完整地描述了随机变量X的统计特性。

函数分类

离散型随机变量的概率分布

对于离散型随机变量，设为变量X的取值，而为对应上述取值的概率，则离散型随机变量X的概率分布为

且概率应满足条。因此，离散型随机变量X的概率分布函数为

连续型随机变量的概率分布

对于连续型随机变量，设变量X取值于区间(a，b)，并假设其分布函数F(x)为单调增函数，且在间可微分及其导数F’(x)在此区间连续，则变量X落在x至区间内的概率为

为描述其概率分布规律，这时不可能用分布列表示，而是引入“概率分布密度函数”的新概念。定义概率分布函数F(x)的导数F’(x)为概率分布密度函数f(x)，即

于是连续型随机变量X的概率分布函数可写为常用的概率积分公式的形式：

这样，只要已知某一连续型随机变量X的概率分布密度函数f(x)，即可求得X落在某一区间内的概率：

与离散型随机变量的概率函数一样．对于分布密度函数，有

连续型随机变量的分布密度函数．以及与它对应的分布函数F(x)的图形分别如图1和图2所示。有时称f(x)的图形为分布曲线，而称F(x)的图形为累积分布曲线。

分布函数F(x)是一个普通函数。正是通过它才能用数学分析的方法来研究随机变量。如果将X看成是数轴上随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间的概率。

分布函数F(x)具有下述基本性质：

①F(x)为单调非降函数：

② 右连续；

③ 。

综上所述，概率分布函数是随机变量特性的表征，它决定了随机变量取值的分布规律，只要已知了概率分布函数，就可以算出随机变量落于某处的概率。

参考资料

最新修订时间：2024-06-27 11:17

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