概率母函数
该随机变量的概率质量函数的幂级数表达式
概率论里,概率母函数是指该随机变量的概率质量函数幂级数表达式。它也是研究随机变量分布律的一个重要的分析工具。
函数定义
单变量情形
如果X是在非负整数域{0,1, ...}上取值的离散随机变量,那么X的概率母函数定义为 :
其中p是X的概率质量函数。
多变量情形
如果X= (X1,...,Xd )是在d-非负整数格{0,1, ...}上取值的离散随机变量, 那么X的概率母函数定义为:
其中p是X的概率质量函数。
函数性质
幂级数
概率母函数服从幂级数的所有非负系数的规则。特别地, ,其中 ,因为概率必须总和为1。所以任何概率母函数的收敛半径必须至少为1,通过具有非负系数的幂级数的Abel定理来证明。
概率和期望
以下性质是与X有关的各种基本量的推导:
1、X的概率质量函数通过取G的导数来恢复,
2、概率密度函数的归一化可以用母函数来表示:
预期的X由下式给出:
所以,X的方差由下式给出:
独立随机变量的函数
概率母函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如:
如果X1,X2,...,Xn是一系列独立的(不一定是相同分布的)随机变量,并且 其中ai是常数,则概率母函数由下式给出:
例如,如果
那么,概率母函数GSN(z)由下式给出:
也就是说,两个独立随机变量S=X1-X2的差的概率母函数是:
函数示例
1.一个常数随机变量(即 )的概率母函数是:
2.一个的概率母函数二项式随机变量,在成功的次数Ñ试验中,概率p是每次试验成功的概率,概率母函数是:
注意,这是具有参数p的伯努利随机变量的概率母函数的n倍乘积。
所以,掷硬币时间的概率母函数是:
3.一个概率母函数的负二项随机变量在{0,1,2 ...}中,每次试验的成功概率p,概率母函数是:
相关概念
概率母函数是一个的例子母函数的序列组成:也见形式幂级数。这与概率质量函数的z变换等效,有时称为z变换
其他随机变量的母函数包括矩母函数、特征函数和累积量母函数。
参考资料
最新修订时间:2023-01-08 17:45
目录
概述
函数定义
函数性质
参考资料