模函数，属解析函数论学科，是上半复平面上属于亚纯函数的一类，模形式是模函数的推广。定义在单位圆（或上半平面）内部且以其周界为自然边界的某种特殊解析函数。

在z平面中取单位圆|z|<1，在其周界上按反时针向依次任取三点A、B、C，并作一圆弧三角形ABC，其每边均与|z|=1正交，构成一区域 （斜线区）。在w平面中实轴上取定三点α(=0)，β(=1)，γ(=∞)。由共形映射的黎曼定理，存在一单叶解析函数w =φ(z)，把D0映到w 的上半平面，并使A，B，C分别映到α，β，у。根据对称性原理，w=φ(z)可解析开拓到圆弧三角形Dó中，这里Dó是 关于AB 弧的对称反演区域（C点反演成圆周|z|=1上另一点C），而函数值则取在w 的下半平面，此下半平面与原上半平面沿线段αβ相粘连。

同理，w=φ(z)又可分别解析开拓到 的关于CA弧和BC弧的对称圆弧三角形中，其函数值也在w 的下半平面中，它们分别与上半平面沿半直线 γα 和 βγ 相粘连。这样，得到了|z|<1中的一圆弧六边形区域，w=φ(z)在其中解析，取值于整个w平面中如上粘连的一个上半平面和三个下半平面。再以此六边形的各边进行反演，则w=φ(z)又可再次解析开拓到|z|<1中边数更多的圆弧形区域中(仍在|z|<1内)，取值又回到w 的上半平面，并与上面已取得的下半平面分别沿αβ，βу，уα之一相粘连。如此无限继续下去，则w=φ(z)就开拓成为整个|z|<1内的解析函数，其所取之值在w平面上形成一无限层的黎曼曲面。w=φ(z)称为模函数。其反函数z=φ(w)是整个w平面除0，1，∞外的多值解析函数，或者可说成是上述黎曼曲面上的单值解析函数。

模函数w=φ(z)单值解析于|z|<1内，显然不取值0，1，，且当z从单位圆内部以任意方式趋于其周界上一点时，不可能有确定的极限值，因此|z|=1是其自然边界，即它不可能再向|z|=1之外进行解析开拓。

也可用一分式线性变换t=ω(z)，|z|<1,把z变到t平面的上半平面，使A,B,C 分别变成实轴的α，b以及 ，而 变成区域 (图2)，当 关于其一边界圆弧作对称反演时，相应地 也关于其相应边作对称反演。

设t=ω(z)的反函数为z=λ(t)，则：

w=f(z)=f(λ(t))=φ(t)

就把t的上半平面映成w平面上述的黎曼曲面。φ(t)也称为模函数，其性质本质上与ω(z)相类似。如果把构成模函数w=f(z)过程中所作的种种关于圆弧的反演变换记为 ， ，…，则对于任何 ，f(z)与f( )互为共轭。因此，对任何两个 ， ，恒有f(z)=f( )，即当z经过两次这类反演后，其函数值f(z)不变。如果把偶数个这种反演及其逆作为元素，它们生成一变换群G，则当z经G任一元变换后，函数值f(z)不变。称G为模函数w=f(z)的不变群，也称f(z)为关于群G 的自守函数(见椭圆函数)。

在计算机中，去模函数又称为同余函数，mod(nExp1,nExp2)，即是两个数值表达式作除法运算后的余数。那么：两个同号整数求余与你所知的两个正数求余完全一样(即两个负整数与两个正整数的算法一样)。

两个异号整数求余

1.函数值符号规律(余数的符号)

mod(负,正)=正

mod(正,负)=负

结论：两个整数求余时，其值的符号为除数的符号。

2.取值规律

先将两个整数看作是正数，再作除法运算。

①能整除时，其值为0

②不能整除时，其值=除数×(整商+1)-被除数

例：mod(9,-8)=-7

即：9除以8的整数商为1，加1后为2；其与除数之积为16；再与被除数之差为7；取除数的符号。所以值为-7。

所以你的MOD(10,-3)是10除以3的整数商为3，加1后为4，其与除数之积为12；再与被除数之差为2；取除数的符号，所以为-2。

两个小数求余

取值为：被除数-(整商×除数)

例：mod(9,1.2)=0.6

即：9除1.2其整商为7；7与除数1.2之积为8.4；故结果为0.6。

例：mod(9,2.4)=1.8

即：9除2.4其整商为3；3与除数2.4这积为7.2；故结果为1.8。