在数学中，黎曼曲面是德国数学家黎曼为了给多值解析函数设想一个单值的定义域而提出的一种曲面。用现代的语言说，黎曼曲面就是连通的一维复流形。黎曼曲面的研究不仅是单复变函数论的基本问题之一，而且与众多的现代数学分支有紧密联 系，如多复变函数论、复流形、代数几何、代数数论、 自守函数等。

数学上，特别是在复分析中，一个黎曼曲面是一个一维复流形。黎曼曲面可以被认为是一个复平面的变形版本:在每一点局部看来，他们就像一片复平面，但整体的拓扑可能极为不同。例如，他们可以看起来像球或是环，或者两个页面粘在一起。

黎曼曲面的要点在于在他们之间可以定义全纯函数(holomorphic function)。黎曼曲面被认为是研究这些函数的整体行为的自然选择，特别是像平方根和自然对数这样的多值函数。

每个黎曼曲面都是二维实解析流形(也就是曲面)，但它有更多的结构(特别是一个复结构)，因为多值函数的无歧义的定义需要用到这些结构。一个实二维流形可以变成为一个黎曼曲面(通常有几种不同的方式)当且仅当它是可定向的。所以球和环有复结构，但是莫比乌斯圈，克莱因瓶和投影平面没有。

单值解析函数的反函数可以是多值的。例如，幂函数和指数函数的反函数为根式函数和对数函数，它们都是多值的。另外，从一个解析函数元素出发沿一个闭曲线作解析开拓，最后可能得到不同的元素。因此，完全解析函数往往是多值的。在研究 多值函数时，人们先把它分解为一个个单值解析 分支，然后按这些分支之间的关系把它们连接起来。 为研究，把扩充的复平面沿正实轴割开,记为╦1,它的边界是两条正实轴Л剂和Л奂，分别镶在第一象限的下边和第四象限的上边，在╦1上 令

就得到的一个单值解析分支,它在╦1的内部是解析的，并且连续到边界Л剂和Л奂上, 但在和同一个正实数x对应的分别位于Л剂 和Л奂上的两个点上,却分别取不同的值。设╦ 2是另一个沿正实轴割开的扩充的复平面，它的边界记为Л崹 和Л崃 。令就得到的另一个单值解析分支。与不同,在Л崹和Л崃 上与正实数x对应的两个点处，的值分别是。由于在 Л剂和Л奂上的值分别与在Л崃和Л崹上的值相同，人们自然地把Л剂 和Л崃以及Л奂和Л崹两两粘接起来,而把╦1和╦2拼接成一个整体，这就是的黎曼曲面。作为定义在这个曲面上的函数,包含了它的两个分支，同时是单值的。替多值函数构造一个适当的定义场所，而使得它成为一个完整的单值解析函数,这是黎曼的原始的思想。这样构造出来的,和lnz的黎曼曲面如图1所示。

把的黎曼曲面按原来的位置放在扩充的复平面上就成了扩充复平面的一个n 叶覆盖曲面。曲面上的点O和∞叫做n-1级枝点。同样,lnz的黎曼曲面是（除去原点后的）复平面的无枝点的覆盖曲面。一般地说，复平面（或扩充的复平面）的任意的一个覆盖曲面都可看作一个黎曼曲面。设覆盖曲面中的点P位于复平面中的点z之上，则称z为P的投影。定义在曲面上的一个函数在非枝点处是否解析,就看它作为投影z的函数是否是解析的；而在投影为z0的n-1级枝点处,则要看它对于是否是解析的。这就是黎曼本人的原始的黎曼曲面的概念。黎曼曲面的经典理论是在这样的概念上发展起来的。

一个完全解析函数或完全解析构形，把其中以z0为中心的函数元素看作放在z0上的点，自然就成了扩充平面的覆盖曲面，这就是它的黎曼曲面。一个代数函数w=w(z)的黎曼曲面是扩充平面的n叶覆盖曲面（n为对应的方程中w 的最高次数）。例如，的黎曼曲面的构造如图1所示。把上下两个平面中连接0,1和连接2,3的两个线段都割成裂缝，每一裂缝产生两条边，分别与平面上半部分和下半部分相连，用实线与虚线表示。然后把上平面中实线（虚线）所示的边和下平面中虚线（实线）所示的边粘接起来。

开集上的一个连续单叶复值函数，也叫局部坐标），若在任意两个相邻的局部参数的定义域的公共部分上，其中的一个参数作为另一个参数的函数是解析的，并且这些参数的定义域覆盖了整个曲面，那么，这个曲面连同这族局部参数（叫做共形结构）就构成了一个黎曼曲面。复平面C或者C上任一个区域按其自然参数都是黎曼曲面。在扩充复平面╦上，除了在C上已有一个自然参数外，再在区域{z││z│>0}（包括无穷远点）上令,得另一参数,而使╦成为一个黎曼曲面。一个黎曼曲面到黎曼曲面里的连续映射称为是解析的，如果它用两个曲面上的局部参数表示出来是解析函数。一个黎曼曲面到 ╦里的解析映射就是该曲面上的半纯函数（亚纯函数）。黎曼曲面上的调和（或次调和）函数的定义为关于局部参数是调和（或次调和）的函数。黎曼曲面的引入大大地开扩了复变函数论的研究范围。

由紧曲面作成的黎曼曲面叫做闭黎曼曲面，否则就叫做开黎曼曲面。若一个闭曲面（或开曲面）上的一维同调群（或模理想边界的一维同调群）的秩是2g，则称g (非负整数或无穷)为此黎曼曲面的亏格。开曲面的亏格可能为无穷。两个黎曼曲面称为是共形等价的，如果存在一个从一个曲面到另一个曲面上的一一的解析映射（共形映射）。同一个亏格g(g>1)的闭黎曼曲面的所有共形等价类组成所谓模空间。黎曼首先发现，模空间中的元素由3g-3个复参数确定。从模空间的研究中产生出丰富多彩的泰希米勒空间的理论。

人们还把开黎曼曲面作了分类。不存在非常数的负次调和函数的开曲面叫做抛物型曲面，其他的开曲面就叫做双曲型曲面。抛物型曲面所成的类用OG表示。不存在非常数的有界解析或调和函数，狄利克雷积分为有穷的解析或调和函数，或正调和函数的开曲面分别组成类OAB或OHB，OAD或OHD,或OHP。在这些曲面类之间存在如下的包含关系：按照黎曼本人的原始概念，黎曼曲面是╦ 的覆盖曲面。所谓曲面愞 是曲面F的覆盖曲面，是指存在曲面愞到曲面F里的映射ƒ,对于每一个慉 ∈愞,都存在慉和ƒ(慉)∈F的开邻 和V，使得限制和V之间，ƒ拓扑等价于单位圆到自身的映射z=zn（n是正整数，它与慉有关；当n>1时，慉叫做枝点）。定义中的映射ƒ叫做投影。当F是一个黎曼曲面时，可使上面的是F 的局部参数。令z为愞的局部参数,就在愞上定义了一个共形结构，而使它成为一个黎曼曲面，并且，ƒ是一个解析映射。一个完全解析函数w =g(z)的黎曼曲面就是╦的覆盖曲面，并按上面的方法赋以共形结构。在这个曲面上有两个半纯函数：把w=g(z)看作曲面上的单值函数,记以w=G(P)；还有从曲面到╦上的投影，记以z=Z(P)，P是曲面上的点。这里的完全解析函数可以包含极元素和分枝元素，以及分枝的极元素。 　在一个曲面上有相同的起点和相同的终点的两条曲线（连续曲线）уi:t→φi(t)(0≤t≤1,i=1,2) 称为是同伦的,如果存在到这个曲面里的连续映射(t,u)→φ(t，u)(0≤t≤1,0≤u≤1)，使得φ(t,0)呏φ1(t),φ(t,1)呏φ2(t),φ(0,u)呏φ1(0),φ(1,u)呏φ1(1)。曲面上固定端点的闭曲线组成的所有同伦等价类以曲线的连接作为乘法运算组成一个群，叫做曲面关于这个定点的基本群。关于不同点的基本群是互相同构的。基本群只包含一个元素的曲面叫做单连通曲面。 　没有枝点的覆盖曲面叫做光滑覆盖曲面。设ƒ使愞成为F 的光滑覆盖曲面。若у=ƒ()，其中的和у分别是愞和F上的曲线，则称是у的提升。若对于任意的у嶅F和任意的以у的起点为投影的慉∈愞，у的以慉为起点的提升总是存在的，则称愞是F的正规覆盖曲面。光滑性保证指定起点的提升的惟一性。单值性定理称：若愞是F的正规覆盖曲面,则对于F上的任意两条互相同伦的曲线v1和v2以及愞中任意的以v1和v2的公共起点为投影的点慉,v1和у2的以慉为起点的提升和2总有公共的终点，并且,1和2也是同伦的（在 愞上）。复变函数论中关于解析函数元素沿曲线解析开拓的单值性定理是这个定理的一个具体应用。 　单连通的正规覆盖曲面叫做万有覆盖曲面。对于任意的一个曲面F，它的万有覆盖曲面愞总是存在而且在共形等价的意义下是惟一的。当F是一个黎曼曲面时,可使愞也成为一个黎曼曲面，而投影ƒ是解析映射。著名的单值化定理分式线性变换组成的间断群(即克莱因群,包括富克斯群)的理论和黎曼曲面理论有紧密的联系。若这里的F是完全解析函数w=g(z)的黎曼曲面，则G(ƒ(t))和Z(ƒ(t))（t∈╦，C，或单位圆）都是半纯函数，多值函数w=g(z)经参数t（叫做单值化参数）单值化了。从而就解决了著名的希尔伯特第22问题即单值化问题。 　在一个黎曼曲面上,若对每一个局部参数z都定义了一个微分ƒ(z)dz（ƒ(z)是半纯函数）, 而与相邻的两个参数z和ζ 对应的ƒ(z)dz和φ(ζ)dζ 满足关系ƒ(z(ζ))·z┡(ζ)=φ(ζ),则称在曲面上定义了一个半纯微分。半纯函数(或半纯微分)在某一点的零点或极点的级等于在取定一个局部参数后该函数（或该微分在这个参数下的表示形式中的系数）作为这个局部参数的函数在该点的零点和极点的级。黎曼－罗赫定理称:在一个亏格为g的闭曲面上，指定了点p1,p2,…,ps;q1,q2,…,qt和正整数k1,k2,…,ks;n1,n2,…,nt,令。设以pi为至多ki级极点(或至少ki级零点，i=1,2,…,s)，并且以qi为至少ni级零点（或至多ni级极点，i=1，2,…，t）的所有半纯函数(或半纯微分)组成的复数域上的线性空间的维数为A（或B），那么，A=B +m-g+1。这个定理是闭黎曼曲面理论的一个基本结果；在一定条件下，也被推广到开曲面和高维复流形。

黎曼曲面的几何性质是最妙的，它们也给向其它曲线，流形或代数簇上的推广提供了直观的理解和动力。Riemann-Roch 定理就是这种影响的最佳例子。

令X为一个豪斯多夫空间(Hausdorff space)。一个从开子集U⊂X到C的子集的同胚称为图(chart). 两个有重叠区域的图f和g称为兼容，如果映射f o g-1 和g o f-1 是在定义域上全纯的。若A一组相容的图，并且每个X中的x都在某个f的定义域中，则称A为一个图集(atlas)。当我们赋予X一个图集A,我们称(X,A)为一个黎曼曲面。如果知道有图集，我们简称X为黎曼曲面。

不同的图集可以在X上给出本质上相同的黎曼曲面结构；为避免这种模糊性，我们有时候要求X为极大的，也就是它不是任何一个更大的图集的子集。根据佐恩引理(Zorn's Lemma)每个图集A包含于一个唯一的最大图集中。

复平面C可能是最平凡的黎曼曲面了。映射f(z) = z (恒等映射)定义了C的一个图,而 是C的一个图集. 映射g(z) = z* (共轭)映射也定义了C的一个图而也是C的一个图集. 图f和g不相容，所以他们各自给了C一个黎曼曲面结构。事实上，给定黎曼曲面X及其图集A, 共轭图集B = {f* : f ∈ A} 总是不和A相容, 因此赋予X一个不同的黎曼曲面结构。

类似的，每个复平面的开子集可以自然的视为黎曼曲面。更一般的，每个黎曼曲面的开子集是一个黎曼曲面。

黎曼球因为它可以解释为把复平面裹在一个球上。不象复平面，它是一个紧空间。

埃舍尔的《画廊》也运用了黎曼曲面。

紧黎曼曲面可以视为和定义在复数上的非奇异代数曲线等效。非紧黎曼曲面的重要例子由解析连续给出

两个黎曼曲面M和N之间的 函数f : M → N称为全纯(holomorphic)，如果对于M的图集中的每个图g和N的图集中的每个图h，映射h o f o g-1 在所有有定义的地方是全纯的(作为从C到C的函数) 。两个全纯函数的复合是全纯的。两个黎曼曲面M和N称为保角等价(或共形等价conformally equivalent)，如果存在一个双射的从M到N的全纯函数并且其逆也是全纯的(最后一个条件是自动满足的所以可以略去)。两个保角等价的黎曼曲面对于所有的实际应用来讲是完全相同的。

每个单连通的黎曼曲面和C或黎曼球C ∪ {∞}或开圆盘{z ∈ C : |z| < 1}保角等价。这个命题称为一致化定理。

每个连通黎曼曲面可以转成有常数曲率-1，0或1 的完备实黎曼流形。这个黎曼结构除了度量的缩放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面称为双曲的;开圆盘是个经典的例子。有曲率0的黎曼曲面称为抛物的；C是典型的抛物黎曼曲面。最后，有曲率+1的黎曼曲面称为椭圆的；黎曼球C ∪ {∞}是这样的一个例子.

对于每个闭抛物黎曼曲面，基本群同构于2阶格群，因而曲面可以构造为C/Γ,其中C是复平面而Γ 是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。

类似的，对每个双曲黎曼曲面，基本群同构于Fuchsian 群，因而曲面可以由Fuchsian 模型H/Γ 构造，其中H是上半平面而Γ是Fuchsian 群。H/Γ陪集的代表是自由正则集，可以作为度量基本多边形。

前面我们提到黎曼曲面，象所有复流形，象实流形一样可定向。因为复图f和g有变换函数h = f(g-1(z))，我们 可以认为h是从R2开集到R2的映射，在点z的雅戈比阵也就是由乘以复数h'(z)的运算给出的实线性变换。但是，乘以复数α的行列式等于|α|^2, 所以h的雅戈比阵有正的行列式值。所以，复图集是可定向图集。

黎曼最早开始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。

黎曼（G.F.B Riemann)1826年9月17日生于德国汉若威的布雷斯塞论茨，1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。

黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分为八个领域来论述。前4个领域是关于复分析方面的，他第一个有意识的将实域过渡到复域，开创了复变函数域，代数函数论，常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后4个领域主要涉及实分析，在积分理论，三角级理论，微分几何学，数学物理方程等方面取得重大突破。重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑方法，一般流形概念，联系拓扑与分析的黎曼－洛赫定理，代数几何学特别是阿贝尔簇以及参模等紧密相连，他的空间观念及黎曼几何更预示着广义相对论，正是他促发了现代数学的革命性变革。

黎曼是牧师之子，在哥廷根 (Gottingen) 大学和梅林大学学习，1851年在哥廷根大学获得博士学位，1854年任该大学兼职讲师，1857年任副教授，1859年作为P. G. L. Dirichlet的继承人任教授。因患肺病，英年早逝。短短一生中，在数学各个领域作出了划时代的贡献。最重要的贡献有四个方面：几何学、复变函数论、微分方程和数学分析的基本理论。他是黎曼几何的创始人，复变函数理论创始人之一。在数学分析方面，他给积分下的标准定义，一直沿用至今，以至于这种意义下的古典积分叫作“黎曼积分”。他还对傅立叶级数理论做了许多研究，其中最著名的就是以他的名字命名的定理。黎曼对偏微分方程和常微分方程理论，特别是常微分方程的奇点理论，也都创造了一些重要的方法。黎曼还十分关注自然科学，特别是物理学。他的复变函数和微分方程研究都直接与流体力学和电磁理论相联系，著名的数学家克莱因曾在《19世纪数学发展讲义》一书中指出： “黎曼用他的数学才能为自然科学本身开辟新的途径。然后又把自然科学作为形成数学中的新概念的动力”。