在
数学中,特别是在
微分几何和
代数几何中,复流形是具有复结构的
微分流形,即它能被一族坐标
邻域所覆盖,其中每个坐标邻域能与n维复线性空间中的一个
开集同胚,从而使坐标区域中的点具有复坐标 (z1,…,zn),而对两个坐标邻域的重叠部分中的点,其对应的两套复坐标之间的坐标变换是
全纯的。称n为此复流形的复维数。一个n维复流形也是2n维的(实)微分流形。
定义
d维复流形为2d维
光滑流形,其
坐标卡局部微分同胚于,且不同坐标卡之间的
转移函数为
全纯函数。
具体定义
设 M 为具有可数基的
仿紧空间,在 M 上有开覆盖 ,使得对每个开子集 ,存在 到 n 维复欧几里得空间 中开集上的同胚 。
因此对开子集中每一点 p,存在局部坐标 。 称为
标架, 称为坐标系。当 ,则开子集 中任一点 p 有两种坐标
由于和为同胚,于是有局部坐标 z 和 w 之间的一一对应关系 :
这是( )到( )上的映射,如果 是全纯同构映射,则拓扑空间M称为n维复流形。
简介
单复变函数论中的
全纯函数的反函数经常出现多值情形,因此定义域便从
复平面扩产到
黎曼曲面,使得在黎曼曲面上这个全纯函数的反函数单值化。无支点的黎曼曲面的推广,就是复流形。
注意,n维复流形是一类特殊的2n维实流形,即具有复结构J的2n维实流形。上面提到黎曼曲面是由全纯函数的反函数单值化产生的。而在多复变情形,从解析开拓的角度,可以看出复欧几里得空间中的域上的全纯函数,在作解析开拓后,会产生复流形。所以有些函数论问题,仅局限在n维
复欧几里得空间上考虑是不够的,必须扩产到复流形上讨论。这就是为什么在
多复变函数论中,复流形的概念是不可缺少的。关于复流形的研究,紧复流形比一般情形要成熟些。
历史
作为一维的复流形的黎曼面的研究有着悠久的历史,而一般复流形的研究从20世纪40年代才开始。
现今,它已成为近代数学中十分重要的概念和课题。
举例
黎曼球面
考虑R3中的单位球面。它可以被球面分别去掉北极和南极所得到的两个坐标开集所覆盖。用关于北极的球极投影得到一个坐标映射,而关于南极的球极投影后再取共轭复数又得到另一个坐标映射。这样,单位球面也构成一维复流形,称为
黎曼球面。
复射影空间
对
复射影空间CPn描述如下:设Cn+1是复n+1维的复线性空间,Cn+1n+1中去掉原点后所得到的空间。对于其中任意两个点z=(z0,...,zn)和w=(w0,...,wnn,它是一个n维的复流形。Cn+1中的点(z0,...,zn)所在的等价类,被看成是CPn中的点,记做(z0:...:zn),称为齐次坐标。直观地说,CPn就是Cn+1中所有过原点的复直线(即二维实平面)的集合。
对CPn中的任一点p,设(z0(p):...:zn(p))是它的齐次坐标,那么{(z0,...,zn);|z0|2+...+|zn|2=1}是Cn+1中以原点为中心的单位球面S2n+1上的一点。我们知道,S2n+1的子集{(λz0,...,λzn);|z0|2+...+|zn|2=1,|λ|=1,λ∈C}是S2n+1上的一个大圆。给定p点,即点(z0(p):...:zn(p)),它所确定的S2n+1上点的全体恰好组成了一个大圆,因此CPn也可看成S2n+1中的大圆的全体。
当n=1时,CP1和黎曼球面S2是双全纯等价的。