凸函数f:I→R在点x0的次导数，是实数c使得：，对于所有I内的x。我们可以证明，在点x0的次导数的
集合是一个
非空闭区间[a,b]，其中a和b是单侧极限，，它们一定存在，且满足a≤b。所有次导数的集合[a,b]称为函数f在x0的次微分。
考虑凸函数f(x)=|x|。在原点的次导数是区间[−1, 1]。x0<0时，次导数是
单元素集合{-1}，而x0>0，则是单元素集合{1}。
次导数和次微分的概念可以推广到多元函数。如果f:U→R是一个实变量凸函数，定义在
欧几里得空间R内的
凸集，则该空间内的向量v称为函数在点x0的次梯度，如果对于所有U内的x，都有：，所有次梯度的集合称为次微分，记为∂f(x0)。次微分总是非空的凸
紧集。