正则条件概率
统计学术语
正则条件概率(The regular conditional probability)亦称条件概率测度。
定义
设为概率空间,为的子代数。由条件期望的性质知:
具有以下性质:
这些性质与概率测度的性质(全空间的测度等于1,非负性,可数可加性)很相似,不同之处在于出现了例外集.
假定对于每一个集合,我们取定的一个版本(即为上的一个确定的可测函数,并且.我们希望去掉一个例外集(概率为零)使得,对于任意的为上的一个概率测度:非负性及在全空间上的值等于1不成问题,只需要它满足可数可加性:即对于任意可数个两两不相交的集合,必须有下式成立
但是,根据条件期望的定义,我们只知道。因此,对于每一个集合序列,需要去掉一个例外集才能使得式成立;而这样的序列个数通常都是不可数的,我们知道不可数个零概集的并集不一定还是零概集(其实并起来的集合是否属于代数我们都不知道,即并起来的集合的可测性我们一般都不知道).如果能够去掉一个公共的零概集N,使得式成立,可在N上,对于任意集合,定义,则式对所有成立。
设为一概率空间,为的子代数.令为上的一族概率测度,称它为P关于的正则条件概率,如果为的一个版本,即以下两个条件成立:
(1)为上的可测函数
(2),
相关定理
定理1:设为P关于的正则条件概率。设X为一随机变量,其期望存在,则对几乎所有,X关于概率测度的积分存在,并且有
证明 :从示性可测函数过渡到非负可测函数,再到一般可测函数(随机变量) 。
该定理表明,有了正则条件概率,条件期望可以看做是关于条件概率的积分。
定理2: 设为一可分可测空问,P为上的一紧概率测度,则对的任一子代数,存在P关于的正则条件概率。
定理3:设为一Radon可测空间,P为上的一概率测度,则对的任一子代数,存在P关于的正则条件概率。
参考资料
最新修订时间:2022-08-25 14:38
目录
概述
定义
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