正则测度(regular measure)一种比较规则的测度。既外正则又内正则的测度称为正则测度。

正则测度(regular measure)是一种比较规则的测度。

设Ω是拓扑空间，B(Ω)是Ω上的博雷尔σ代数，μ是Ω上的博雷尔测度。

如果对B(Ω)中每个博雷尔集E，

有：

则称μ为外正则测度；

如果对Ω中每个开集U，

有：

则称μ为内正则测度；

既外正则又内正则的测度称为正则测度。

在拓扑学和相关的数学分支中，豪斯多夫空间、分离空间或T2 空间是其中的点都“由邻域分离”的拓扑空间。在众多可施加在拓扑空间上的分离公理中，“豪斯多夫条件”是最常使用和讨论的。它蕴涵了序列、网和滤子的极限的唯一性。豪斯多夫得名于拓扑学的创立者之一费利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓扑空间定义把豪斯多夫条件包括为公理。

假设 X 是拓扑空间。设 x 和 y 是 X 中的点。我们称 x 和 y 可以“由邻域分离”，如果存在 x 的邻域 U 和 y 的邻域 V 使得 U 和 V 是不相交的 (U ∩ V = ∅)。X 是豪斯多夫空间如果任何两个X 的独特的点可以由邻域分离。这时的豪斯多夫空间也叫做 T2 空间和分离空间的原因。

X 是预正则空间，如果任何两个拓扑可区分的点可以由邻域分离。预正则空间也叫做 R1 空间。

在这些条件之间的联系如下。拓扑空间是豪斯多夫空间，当且仅当它是预正则空间和柯尔莫果洛夫空间的二者(就是说独特的点是拓扑可区分的)。拓扑空间是预正则空间，当且仅当它的柯尔莫果洛夫商空间是豪斯多夫空间。

在数学分析所遇到的几乎所有空间都是豪斯多夫空间；最重要的实数是豪斯多夫空间。更一般的说，所有度量空间都是豪斯多夫空间。事实上，在分析中用到的很多空间，比如拓扑群和拓扑流形在其定义中明确的声明了豪斯多夫条件。

最简单的是 T1 空间而非 T2 空间的拓扑的例子是余有限空间。

伪度量空间典型的不是豪斯多夫空间，但是它们是预正则的，并且它们在分析中通常只用于构造豪斯多夫gauge空间。实际上，在分析家处理非豪斯多夫空间的时候，它至少要是预正则的，他们简单的把它替代为是豪斯多夫空间的它的柯尔莫果洛夫商空间。

相反的，在抽象代数和代数几何更经常见到非预正则空间，特别是作为在代数簇或交换环谱上的Zariski拓扑。他们还出现在直觉逻辑的模型论中: 所有完全 Heyting代数都是某个拓扑空间的开集的代数，但是这个空间不需要是预正则的，更少见豪斯多夫空间。

博雷尔集类是深入讨论函数的连续性、可微性、可积性时必不可少的重要集类。由R中半开区间组成的半环所生成的σ代数，称为R上的博雷尔集类。也可定义为R中的闭集(开集)全体生成的σ代数。它是由博雷尔于1898年引入的，故以此而命名。这种集类在测度论、概率论、遍历理论等数学分支中均有广泛应用。在一般拓扑空间中可类似地引入博雷尔集。

测度，是数学术语，释义是构造一个集函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数m(E)。我们将此集函数称为E的测度。测度有计数测度、勒贝格测度、哈尔测度、概率测度等。构造一个集函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数m(E)。我们将此集函数称为E的测度。

定义1：构造一个集函数，它能赋予实数集簇М中的每一个集合E一个非负扩充实数mE。我们将此集函数称为E的测度。

定义2：设Γ是集合X上一σ代数，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函数，且ρ满足：

（1）（非负性）对任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（规范性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 对任意的一列两两不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

则称ρ是定义在X上的一个测度，Γ中的集合是可测集，不在Γ中的集合是不可测集。特别的，若ρ(X) = 1 ，则称ρ为概率测度。

勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，R的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

R上的勒贝格测度有如下的性质：

如果A表示的是区间I1 ×I2 × ... ×In的笛卡尔积，那么A是勒贝格可测的，并且 其中 |I| 表示区间I的长度。 如果A是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么A也是勒贝格可测的，并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。 如果A勒贝格可测的，那么它的补集（相对于R）也是可测的。 对于每个勒贝格可测集A，λ(A) ≥ 0 。 如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集，那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。) 可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。 如果A是一个开集或闭集，且是R(甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么A是勒贝格可测的。 如果A是一个勒贝格可测集，并有 λ(A) = 0 ，则A的任何一个子集B的勒贝格测度λ(B)=0。 如果A是勒贝格可测的，x是R中的一个元素，A关于x的平移（定义为A+x= {a+x:a∈A}）也是勒贝格可测的，并且测度等于A. 如果A是勒贝格可测的，δ > 0，则A关于δ的扩张（定义为）也是勒贝格可测的，其测度为。 更广泛地说，设T是一个线性变换，A是一个R的勒贝格可测子集，则T(A)也是勒贝格可测的，其测度为。 如果A是R的勒贝格可测子集，f是一个A到R上的连续单射函数，则f(A)也是勒贝格可测的。

简要地说，R的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数，且λ是其上唯一的完备的、平移不变的、满足的测度。

勒贝格测度是σ有限测度。