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正弦公式

几何学名词

正弦公式是描述正弦定理的相关公式，而正弦定理是三角学中的一个基本定理，它指出：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。几何意义上，正弦公式即为正弦定理。

定义

正弦公式是三角学中的一个公式。它指出：对于任意，、、分别为、、的对边，为的外接圆半径，则有

公式证明

1.证明一

做一个边长为a，b，c的三角形，对应角分别是A，B，C。从向c边做垂线，得到一个长度为h的垂线和两个直角三角形。

很明显：

且

因此：

同理：

2.证明二

作三角形ABC的外接圆，设半径为R，BC=a

1) 角A为锐角时

由于∠A与∠D所对的弧都为BC，根据圆周角定理可了解道

由于BD为外接圆直径，

所以

2）角A为直角时

因为BC =a= 2R，可以得到

所以可以证明，

3)角A为钝角时

线段BD是圆的直径，根据圆内接四边形对角互补的性质，

所以

因为BD为外接圆的直径根据正弦定义

变形可得

根据以上的证明方法可以证明得到得到三角形的一条边与其对角的正弦值的比等于外接圆的直径，即

意义

正弦公式指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。

公式应用

1.三面角正弦定理

若三面角的三个面角分别为α、β、γ，它们所对的二面角分别为A、B、C,则

2.多边形的正弦关系

参考资料

最新修订时间：2023-12-23 18:34

条目作者

概述

定义

公式证明

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