正规结构(normal structure)是关于有界闭凸子集的点到该集的其他点的距离与该集的直径之间关系的一个概念。设A是巴拿赫空间X的有界闭凸集，x∈A，若sup{‖x-y‖|y∈A}非扩张映射的不动点存在性中均有应用。

按范数导出的距离完备的赋范线性空间.设(X，‖·‖)为赋范线性空间。对x，y∈X，ρ(x，y)=‖x-y‖定义了X上的一个距离，使X成为度量空间。如果X按这个距离是完备的，就称X为巴拿赫空间。L(Ω)(1≤p≤+∞)，C(Ω)，c，c0等都是巴拿赫空间的例子。

巴拿赫空间(含赋范空间)是1922年巴拿赫(Banach，S.)与维纳(Wiener，N.)相互独立提出的，并且在不到10年的时间内便发展为相当完美而又有多方面应用的理论。1932年，巴拿赫论述这部分理论的《线性算子理论》一书的问世，是泛函分析作为独立的数学分支出现的标志。巴拿赫空间至今仍是泛函分析研究的基本对象之一。

完备的赋范线性空间被称为巴拿赫空间，是泛函分析研究的基本内容之一。

20世纪以来，当人们研究了许多具体的无限维空间及其上面相应的收敛性以后，自然而然地转向抽象形态的线性空间以及按范数收敛的概念。德国数学家希尔伯特、法国数学家弗雷歇和匈牙利数学家里斯在1904—1918年间所引入的函数空间是建立巴拿赫空间理论的基础。在这些空间里，强收敛、弱收敛、紧性、线性泛函、线性算子等基本概念已经得到初步研究。

1922—1923年，波兰数学家巴拿赫、奥地利数学家哈恩和美国数学家N.维纳等分别独立地引入了赋范线性空间的概念，并以巴拿赫的姓氏来命名。1922年，巴拿赫开始根据他所引入的公理来系统研究已有的函数空间，得到深刻的结果；同一年，哈恩从当时分析数学的许多成果中提炼出共鸣定理；1922—1923年巴拿赫得到压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先后证明了完备赋范空间上泛函延拓定理，引入了赋范线性空间的对偶空间(当时称之为极空间)，这个定理的推广形式后来在局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年，巴拿赫写成《线性算子理论》。至此，完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，并且在不到十年的时间内便发展成本身相当完整而又有多方面应用的理论。

亦称尼尔森不动点理论或称拓扑不动点理论，是代数拓扑学的一个经典研究方向。对于一个自映射f：X→X，集合X中满足条件f(x)=x的点称为映射f的不动点。该理论就是研究拓扑空间中自映不动点集的特征，它是各种方程解的存在性等问题的抽象化。

该理论问题的研究开始于尼尔森(Nielsen，J.)关于环面上自同胚的不动点个数问题，这一方法被赖德迈斯特(Reidemeister，K.W.F.)等人推广至紧多面体的任意连续映射，相应的不变量被称为尼尔森数.一个映射的尼尔森数是它所在的映射同伦类中所有映射不动点个数的下界。

另一个拓扑不变量是莱夫谢茨数，一个映射的莱夫谢茨数非零决定了该映射必存在不动点。

不动点类理论的进一步研究问题有：尼尔森数、莱夫谢茨数与其他拓扑不变量的关系，它们的理论计算问题，各种特殊类型的空间及映射的不动点集特征问题等。另外，这一理论中的方法亦被用来研究映射的周期点问题。

中国数学家在这一领域中有很好的研究工作。姜伯驹解决了一类拓扑空间(被称为姜空间)中自映射的尼尔森数的计算问题，并首先给出了莱夫谢茨数为零但尼尔森数非零的映射的例子，这说明了在判别不动点存在的问题上，后一个不变量要优于前一个不变量。

设E是Banach空间X的非空有界凸闭子集，记为E的直径。对x∈E，记。正规结构系数为：，注意到，MALUTA定义的正规结构系数是BYNUM定义的N(x)的倒数。如果，则称空间X具一致正规结构。而具一致正规结构的空间是自反空间，一致凸和一致光滑的Banach空间均具一致正规结构。