比较审敛法_判别级数敛散性的方法

比较审敛法

判别级数敛散性的方法

在数学领域，收敛性判别法是判断无穷级数收敛、条件收敛、绝对收敛、区间收敛或发散的方法。比较审敛法又称比较审敛原理，是判别级数敛散性的一种方法。

定理

设为一收敛的无穷级数，当中每项都是正实数，而无穷级数中的可为复数。假定对任意n有（这里代表取复数的模）。

（1）若收敛，则收敛。

（2）若，则级数。

证明

（1）对于有，第一个不等号是因有三角不等式而成立。按假定，符合柯西收敛原理，所以亦然。因为复数集的完备性，知收敛。

（2）设数列分别代表，的部分和。因为对任意n有，所以。由於，根据极限的保不等式性，，即。

推论

（1）如果级数收敛，且存在正整数N，使当时，(k>0)成立，则级数收敛；

（2）如果级数发散，且存在正整数N，使当时，(k>0)成立，则级数发散。

典型题

判断一般项为的无穷级数的收敛性：

因为，而一般项为1/n的级数发散（调和级数发散），由比较审敛法知此级数发散。

参考资料

最新修订时间：2024-06-17 18:00

条目作者

概述

定理

证明

推论

参考资料