毕达哥拉斯树,也叫“勾股树”。是由
毕达哥拉斯根据
勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树,所以被称为毕达哥拉斯树。
毕达哥拉斯树是由
毕达哥拉斯根据
勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重复数次后的形状好似一棵树,所以被称为毕达哥拉斯树,也叫“勾股树”。
直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正方形的面积。而同一次数的所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积,直角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。
三个
正方形之间的
三角形,其面积小于等于大正方形面积的四分之一,大于等于一个小正方形面积的二分之一。根据所做的三角形的形状不同,重复做这种三角形的毕达哥拉斯树的“枝干”茂密程度就不同。
毕达哥拉斯树的建立是从一个大正方形开始的,在该正方形的上方建立两个全等的较小正方形,三个正方形间呈现一个等腰直角三角形,故较小正方形的边长为大正方形边长的√2/2。对这两个较小的正方形重复这一过程,得到四个更小的正方形,如此继续下去。若设第一个大正方形的边长为1,在第n级时,会增加2n个小正方形,每个小正方的边长是 (√2/2), 故每一步增加的面积均为2n×(½√2)=1,从这一点来看,当n趋近于无穷时,毕达哥拉斯树的总面积也趋于无穷。但实际上的情况是,当n大于5时,所增加的小正方形会发生互相重叠,导致毕达哥拉斯树的面积是有限的,它局限在一个6×4 的盒子里,但具体值不易求出。
毕达哥拉斯树的一个变种是改变正方形之间的夹角,比如第一步时让两个较小的正方形和大正方形之间的夹角为60度,三个正方形之间的三角形成为等边三角形,这导致组成树的每一个正方形的边长都相等。这一变种到了第四步开始就会发生重叠,最后形成了全等的正方形组成的一个大六边形。