汇合型超几何函数(confluent hypergeometric function)亦称库默尔函数,是汇合型超几何方程的基本解。而该方程则是常见的一种汇合型常微分方程。提出该方程函数的是德国数学家库默尔,在
数论、
几何学、
函数论、
数学分析、方程论等方面都有较大的贡献,但最主要的是在函数论、数论和几何三个方面。
在
超几何方程中作代换 t=z/b,并令 b=β→∞(其结果是使超几何方程的两个奇点 t=1及∞“会合”)即得。
其中的积分路线称为波赫哈默尔围道(见图1),起点P在实轴上,arg t=arg(1-t)=0,分别绕t=1和t=0正向一周后,再分别绕t=1和t=0逆向一周,最后回到P点。
库默尔在
数论、几何学、函数论、
数学分析、方程论等方面都有较大的贡献,但最主要的是在函数论、数论和几何三个方面。
在数论方面。库默尔花的时间最多,贡献也最大。他研究过高斯(Gauss,Carl Friedrich,1777.4.30-1855.2.23)研究过的高次互反律,研究了数论中最困难的问题之一—
费马大定理,创立了甚至比定理本身更重要的理想数理论。这不仅使得他的证明工作取得了空前的进展(除p=37、59、67外,证明了费马大定理当p﹤100时都成立),而且为代数学、函数论、方程论等学科提供了一个新的有效工具。这项成果因此而获得巴黎科学院奖金。在库默尔理想数理论的基础上,
戴德金(Dedekind,Julius Wilhelm Richard Dedekind,1831.10.6-1916.2.12)创立了一般理想理论。库默尔的学说经戴德金和
克罗内克(Kronecker,Leopold,1823.12.7-1891.12.29)的研究加以发展,建立了现代的代数数理论。
库默尔还是一个优秀的教师。一直热心教师之职将近20年。培养了不少数学家,其中最著名的有L.克罗内克、H.A.施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz,1843.1.25-1921.11.30)、P.A.
哥尔丹(Gordan,Paul Albert,1837.4.27-1912.12.21)等。
库默尔全集在1975年才由施普林格出版社出版,由著名数学家A.
韦伊(Weil,Andre,1906.5.6-1998.8.6)编辑,共两卷。韦伊在全集导言中说:“即使100年后,细心的读者仍会从中获得可观的教益”。