《测圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作。成书于1248年，全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一部专著，也是天元术的代表作。

《测圆海镜》所讨论的问题大都是已知勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。勾股形的解法是中国古代数学的重要内容之一。

此外，在中国古代数学的发展中，天元术起着重要的作用。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用以布列方程和多项式的工作，但是没有留下系统的记载。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术，使文词代数开始演变成符号代数。

所谓天元术，就是设“天元一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方程式，称为天元开方式，这与现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，只有到了16世纪以后才完全作到这一点。《测圆海镜》全书170 题，基本上都是依据《识别杂记》列出天元式，求出勾股容圆问题的解。

李冶在40岁时便放弃功名，终生从事数学研究。他反对象数神秘主义，认为数学来自客观的自然界，这些观点反映在他自己写的“《测圆海镜》”序中，这在当时是十分可贵的，也是他在数学上取得重大成就的主要因素之一。 清代阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”，李善兰称赞它是“中华算书实无有胜于此者”。

《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共六百余条，每条可看作一个定理（或公式），这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。后面各卷的习题，都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来。李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从零到九的完整数码。除0以外的数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇0空位，没有符号0。从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用0的两本书，它们成书的时间相差不过一年。《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次），给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。

《测圆海镜》数学上的成就有三点：“天元术”，即列方程解决问题的一种“机械化”程序，相当于现代设x为未知数列方程的方法，这是一项具有世界意义的创举；勾股形解法，把传统的勾股形研究推进到一个新的层次；数学抽象化的新起点。此书虽然形式上仍采用问题集的表述方式，但问题显然已不是从实际生活中得来的，而是出于数学研究的需要产生的，只是出于传统，披上了“实用”的外衣，这对中国古代数学无疑是一种重要的突破和补充，就内容看，给出了一些专门的概念和公式(“识别杂记”)，采用了演绎推理的方法等，在中国数学思想发展史中占有重要的地位。

李冶(1192-1279)是中国古代数学家，字仁卿，号敬斋，真定府栾城县（今河北省石家庄市栾城区）人，宋元数学四大家之一。

李冶生于大兴（今北京市大兴县），父亲李通为大兴府推官。李冶自幼聪敏，喜爱读书，曾在元氏县（今河北省元氏县）求学，对数学和文学都很感兴趣。《元朝名臣事略》中说：“公（指李冶）幼读书，手不释卷，性颖悟，有成人之风。”

李冶一生著作虽多，但他最得意的还是《测圆海镜》．他在弥留之际对儿子克修说：“吾平生著述，死后可尽燔去．独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者．庶可布广垂永乎？”

李冶的数学研究是以天元术为主攻方向的。这时天元术虽已产生，但还不成熟，就像一棵小树一样，需要人精心培植。李冶用自己的辛勤劳动，使它成长为一棵枝叶繁茂的大树。

李冶作为一个有成就的数学家，在治学态度方面，具有与古往今来的科学家所共有的精神，也有其独特之点：

1.在极端艰苦的条件下坚持科学研究，从不间断自己的工作。李冶处在一个动荡不定的时代，特别是弃官隐居以后，从事科学研究的环境是十分艰苦的，常常饥寒至不能自存，但仍处之泰然，以讲学著书为乐。对于数学研究，他也是下过苦功的，他在病危时对其子克修说：“测圆海镜一书，虽九九小数，五常精思致力焉，后世必有知者”。

2.坚持科学真理，不为闲言蜚语所动摇数学研究在当时社会是被轻视的，李冶的工作很少得到当时学者的理解。《测圆海镜》和《益古演段》两书，是在他逝世后三十年才得以付印的。

3.善于接受前人知识，取其精华。有人问学于李冶，李冶回答说：“学有三：积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深”。这就是说，要去其糟粕，取其精华，并使它成为自己的东西。

4.反对文章的深奥化和庸俗化，主张文章是为别人，而不是为自己。李冶在《益古演段》序中说：“今之算者，未必有刘（徽）李（淳风）之工，而编心踞见，不肯晓然示人唯务隐互错揉故为溪滓黯哭，唯恐学者得窥其仿佛也。”他的《益古演段》就是这种主张下的著作。

纵观李冶一生，不管是在为人上还是在学术上，都不愧为一代楷模．他在任钧州知事期间，为官清廉、正直，亲自掌管出纳，一丝不苟。据载，钧州城的出纳“无规撮之误”。在当时动乱的环境中，像李冶这样的清官确实是难能可贵的。李冶在《敬斋古今黈》中说：“好人难做须著力”，又说：“著力处政是圣贤阶级”，这正是他为人做官的写照。他同情人民，面对蒙古军队的屠杀和抢掠，不仅在诗文中表现了极大的愤慨，而且在见忽必烈时，力劝蒙古统治者“止征伐”。他一生热爱科学，追求自由，决不负辱求名。在学术上不迷信名家，敢于突破传统观念的束缚。他虽是通儒出身，但当他认识到数学的重要性时，便专攻数学，这种行动本身就是对传统儒学的批判，因为在儒家看来，数学“可以兼明，不可以专业”。当时盛行的新儒学——程朱理学，甚至把研究科技看作“玩物丧志”，把数学说成“九九贱技”。李冶毫不客气地批评了这些错误观点，指出在朱熹的著述中“窒碍之处亦不可以手举也”。

值得注意的是，李冶的思想深受道家影响。道家崇尚自然，这无疑是有利于把人们的眼光引向自然科学的。庄子的自然观甚至成为李冶抵制唯心主义理学的思想武器。他说：“由技兼于事者言之，夷之礼，夔之乐，亦不免为一技；由技进乎道者言之，石之斤，肩之轮，非圣人之所与乎？”(夷，黄帝臣名；夔，舜臣名。石，扁，均为古工匠名)这就是说，从技艺用于实际来说，圣人所作的礼和乐也可看作一种技艺；从技艺中包含自然规律(即“道”)来说，工匠使用的工具也是圣人所赞赏的。如果我们把李冶的话同庄子所说的“道者，万物之所由也。……道之所在，圣人尊之”联系起来，李冶受庄子思想的影响是一目了然的。很明显，他认为数学这种技艺也是“道之所在”，也应受到尊重。

李冶还认为，数虽奥妙无穷，却是可以认识的，他说：“谓数为难穷，斯可；谓数为不可穷，斯不可。何则？彼其冥冥之中，固有昭昭者存。夫昭昭者，其自然之数也。非自然之数，其自然之理也。”李冶的这一思想，也可以从老庄学说找到渊源。庄子说：“夫昭昭生于冥冥，有伦生于无形．”老子说：“人法地，地法天，天法道，道法自然”，“道之尊，德之贵，夫莫之命而常自然。”正是由于对自然的深刻理解，李冶进一步指出：“数一出于自然，吾欲以力强穷之，使隶首复生，亦末如之何也已。苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。”

李冶不仅有比较先进的哲学思想，而且能在极为艰苦的条件下进行顽强的科学研究．他在桐川著书时，居室十分狭小，甚至常常不得温饱，要为衣食而奔波．但他却以著书为乐，从不间断自己的工作．他的学生焦养直说他“虽饥寒不能自存，亦不恤也”，在“流离顿挫”中“亦未尝一日废其业”，“手不停披，口不绝诵，如是者几五十年”．另外，他还善于去粗取精，批判地接受前人知识，正如他自己所说：“学有三，积之之多不若取之之精，取之之精不若得之之深．”这些优良品质，都是李冶在学术上取得杰出成就的重要原因．

李冶时代，数学不受重视，但李冶却执着地追求真理，他在《测圆海镜序》中说：“览吾之编，察吾苦心，其悯或者当百数，其笑我者当千数，乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉？”李冶不仅学术精深，而且致力于传徒授业，对学生循循善诱。后人盛赞李冶“导掖其秀民，仁之至也。其徒卒昌于时，孰不曰文正公所作成也”(文正为李冶谥号)。李冶以自己的毕生心血，在中国科学史上写下了光荣的一页，被人们深深怀念着。

《测圆海镜》由卷一的圆城图式、说明各个长度名称的总率名号、给出各个长度数值的今问正数、囊括了各个量之间关系的公式总集识别杂记；卷二至卷十二，共一百七十个问题及其解答所组成。书中一共有148问，182种方法是以天元术列出方程以求解，其中列出一次方程31个，二次方程106个，三次方程24个，四次方程20个，六次方程1个。

圆城图式是全书的总括图解，由一个直角三角形（古时称为勾股形）、它的内切圆以及一些特定的点和直线组成。其中的顶点、圆心和交点都用某个汉字来指代。最大的三角形的三个顶点分别是天、地、乾，天地乾三角形的内切圆圆心称为心。过心的垂直线从上至下分别和三角形、内切圆交于日、南、北三点。过心的水平线从左至右分别和三角形、内切圆交于川、东、西三点。过东的垂直线和过南的水平线都是内切圆的切线，它们分别交天地乾三角形于艮、坤、山、月四点，而相交于巽点。乾坤巽艮构成一个正方形。过月的垂直线交东西水平线于青点，交地乾边于泉点。过山的水平线交南北垂直线于朱点，交天乾边于金点。而这两条线相交于泛点。最后过日的水平线交天乾边于旦点，过川的垂直线交地乾边于夕点。总共22个点。

全书所研究的三角形一共有15个，全部是以天地线之间的线段为弦（斜边）的直角三角形。总率名号给出了这些三角形和线段的名称。它们分别是：

其中弦是三角形斜边，股是三角形的长直角边（这里是竖直的），勾是三角形短直角边（这里是水平的）。（代表通勾，代表通股，代表通弦，余类推）。

今问正数一节给出了圆城图式每个线段的长度。其中以内切圆的半径为120步，作为标准。

例子:“通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，较（两者的差）二百八十；勾弦和一千，较三百六十；股弦和一千二百八十，较八十；弦较和九百六十，较四百；弦和和一千六百，较二百四十。”

15个勾股形中上高 = 下高；上平=下平，因此，15个勾股形中，只有13个勾股形是相异的。

《今问正数》共15个勾股形×13项=195项。 ，列表如下。

识别杂记都是关于不同线段之间的几何关系式。一共给出了692个公式。是全书的纲领。

识别杂记包含八项：

名目

新设第一率

新设第二率

新设第三率

新设第四率

杂用公式

五和五校

从第二卷开始，《测圆海镜》中一共出现了一百七十个问题，它们都是围绕着同一个题设背景而展开。

在第二卷开头，李冶作出了以后题目公用的总假设：

“假令圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道。其西北十字道头定为乾地，其东北十字道头定为艮地，其东南十字道头定为巽地，其西南十字道头定为坤地。所有测望杂法，一一设问如后”

这里的圆城就是指'''天地乾'''三角形的内切圆，其方向按照圆城图式里面'''东南西北'''四个点的位置而定（注意北在下方，东在左边，与现在通用的方位相反），所谓的“乾地”、“坤地”则是指圆城图式里面出现的'''乾'''点、'''坤'''点等等。以后的每个问题中要求的长度都是圆城的半径或直径。

接下来的问题都是已知某些线段的长度，问圆城的半径或直径。李冶在每一题的题目之后都先写出解法（代数演算），再给出演草（代入数值的计算）。

开头十个问题，不需要天元方程。清代数学[[李善兰]]认为，第一个问题和《[[九章算术]]》的勾股容圆题目一样，第二问至第十问就是《自序》中提到的“洞渊九容”李冶《自序》“老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎，而向之病我者，使爆然落去而无遗馀”。但李冶原书或《四库全书》李锐较本都没有这九个问题的细草，李善兰在《天算或问》一书中根据相似三角形原理求得各式，并以第二问为例阐明如下

又因：

所以

得

其余类推。

第一问：''或问：甲乙二人俱在乾地，乙东行三百二十步而立。甲南行六百步望见乙，问径几里？''

答曰：城径二百四十步。

第二问：勾上容圆

第三问：股上容圆

第四问：勾股上容圆

第五问：弦上容圆

第六问：勾外容圆

第七问：股外容圆

第八问：弦外容圆

第九问：勾外容圆半

第十问：股外容圆半

从第十四题开始，引入'''[[天元术]]'''，将所求的未知量设为“'''天元'''”，然后根据'''识别杂记'''中给出的公式构造出两个天元式，另其相等，然后解方程得出答案。《测圆海镜》中天元式的次序，高次幂在常数项之上，和《益古演段》，《四元玉鉴》的相反。

第十四问

“或问出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步见之。问答同前”。

法曰：以二行步相乘为实，二行步相并为从，一步常法，得半径。

草曰：立天元一为半径，置南行步在地，

内减天元半径得股圆差：

又置乙东行步在地，内减天元，得勾圆差：

以勾圆差增乘股圆差得半段黄方幂：

又置天元幂以倍之，也为半段黄方幂；

因此，得

相消得：

解方程，得

边股17问

底勾17问：

已知及另一边求直径d.

第三卷边股问与第四卷同次第底勾问成对偶。

大股18问：已知

大勾18问：

明叀前18问

求直径d

边股17问

注：家藏李冶所著《测圆海镜》四本12卷（清同治刻本）。又藏“敬斋”铜印一方，中空，盖为“子母印”中的“母印”，印方八分、高六分，顶狮钮高六分，印文为朱文“敬斋”二字，篆体。

考“敬斋”铜印：或为李冶之印，以印配书，可谓双绝；或为明代胡居仁之印。胡居仁（1434—1484），字叔心，号敬斋，江西余干人，著《居业录》，一生以讲学为业，师事吴与弼。