海森堡模型
量子力学术语
海森堡模型(英语:Heisenberg model)是一个自旋系统的统计力学的模型,常被用来研究磁性系统和强关联电子系统中的相变临界点的现象。
定义
在量子力学发展初期,海森堡首先提出自旋与自旋之间可能存在交互作用,其数学形式是两个自旋角动量的内积 。海森堡模型的哈密顿算符是这些内积的总和。
其中自旋角动量的x、y、z三个分量之间的互易关系为 , 为普朗克常数除以 ,为了方便以下讨论假设 。如果只考虑最近邻的自旋才存在交互作用,且交互作用的强度 都均等,则哈密顿算符简化为
可定义上升算符 和下降算符 ,
哈密顿算符可写成
相较于易辛模型,海森堡模型除了考虑自旋z轴方向上的耦合以外,还考虑了x和y轴方向上的耦合,由于 ,这使研究海森堡模型必须考虑量子力学。
一维海森堡模型
考虑N个自旋排成一列,耦合强度 ,一维海森堡模型的哈密顿算符就写成
如果是自旋-1/2的一维海森堡模型,在热力学极限下 ,基态能量可利用贝特拟设方法求得 。
Haldane猜想
自旋半奇整数(1/2、3/2/、5/2…)和整数(1、2、3、…)的一维海森堡模型有不同的性质。
奇数(symmetry protected topological)和偶数(trivial)。
二维海森堡模型
Kagome晶格中的自旋液体
各向异性
磁性材料中,磁矩(或自旋)之间的交互作用除了用各向同性的(isotropic)海森堡模型描述以外,还可能出现一些各向异性(anisotropy)。当材料中有较强的自旋-轨道耦合时,常造成自旋想,想,x,y,z轴上的耦合强度不同,此时哈密顿算符改写为
被广泛研究的海森堡模型类型的模型是XXZ模型,也就是的情形,一维自旋-1/2的XXZ模型可利用贝特拟设严格求解。
当磁矩(或自旋)大于1/2,还可能出现另一种形式的各向异性,由晶格场造成的单轴各向异性,其数学形式为 。因此在磁性材料中常被用来讨论的理论模型写成XXZ模型加上单轴各向异性,
其中参数 和D 分别代表XXZ各向异性和单轴各向异性,当 且D=0,模型回归到各向同性的海森堡模型。
相关条目
易辛模型,是一个以物理学家恩斯特·易辛为名的数学模型,用于描述物质的铁磁性。该模型中包含了可以用来描述单个原子磁矩的参数,其值只能为+1或-1,分别代表自旋向上或向下,这些磁矩通常会按照某种规则排列,形成晶格,并且在模型中会引入特定交互作用的参数,使得相邻的自旋互相影响。虽然该模型相对于物理现实是一个相当简化的模型,但它却和铁磁性物质一样会产生相变。事实上,一个二维的方晶格易辛模型是已知最简单而会产生相变的物理系统。
参考资料
最新修订时间:2022-08-25 16:09
目录
概述
定义
一维海森堡模型
参考资料