爱可尔斯定理(Echols theorem)是欧几里得几何的两个著名定理，是关于两个以及三个正三角形有关性质的定理，爱可尔斯(Echols)于1932年发表了这些定理及其证明，证明采用复数的证法。定理1.若△Z1Z2Z3和△U1U2U3都是同向正三角形，则线段Z1U1，Z2U2，Z3U3的中点作成正三角形；定理2.若△Z1Z2Z3，△U1U2U3，△V1V2V3都是同向正三角形，则△Z1U1V1，△Z2U2V2，△Z2U2V2的重心作成正三角形。该定理是爱可尔斯(Echols)在1932年论述的，这两个定理故名爱可尔斯定理。

若△A1B1C1和△A2B2C2都是正三角形，则线段A1A2、B1B2、C1C2的中点也构成正三角形。

若△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3都是正三角形，则△A1A2A3、△B1B2B3、△C1C2C3的重心也构成正三角形。

这是爱可尔斯(Echols)1932年在美国《数学月刊》上论述过的问题(爱可尔斯定理1曾被芜湖市选用作为1983年中学生数学竞赛试题)。

首先我们证明爱可尔斯定理1，这个定理有多种证法，下面的证明是比较简捷的。

证明 如图1，设正△A1B1C1的边长为a，正△A2B2C2的边长为b，A1A2、B1B2、C1C2的中点分别为D、E、F，延长A1B1、A2B2交于M，A1C1、A2C2交于N，因为∠MA1N=∠MA2N = 60°，所以A1、M、N、A2四点共圆，所以∠M=∠N(设为α，0°≤α<180°)。在四边形A1B1B2A2和四边形A1C1C2A2中，由相关定理得到的公式(Ⅱ)

得DE= DF，同理可得DE=EF，故△DEF为正三角形，下面证明爱可尔斯定理2。

证明 设A1A2、B1B2、C1C2的中点分别为D'、E'、F'(图2)，则由爱可尔斯定理1知△D'E'F’为正三角形，又设D、E、F分别为A3D'、B3E'、C3F'上的点，且 ，则D、E、F分

别为△A1A2A3、△B1B2B3、△C1C2C3的重心，由相关定理的公式( * ):

中，令 ，可得DE = DF=EF，即△DEF为正三角形。

将中点D、E、F推广，可得

定理1 设△A1B1C1、△A2B2C2均为正三角形，D、E、F分别为A1A2、B1B2、C1C2上的点，且

则△DEF为正三角形。

如将正三角形向相似三角形推广，则有

定理2 设△A1B1C1、△A2B2C2同向相似，D、E、F分别为A1A2、B1B2、C1C2上的点，且

则△DEF也与△A1B1C1及△A2B2C2同向相似。

将三角形向多边形推广，可得

定理3 设n边形 与n边形 同向相似，点 分别在 上，且

则n边形 与n边形 及n边形 同向相似。

定理4 (如图5)设△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3均为正三角形，D'、E'、F'分别为A1A2、B1B2、C1C2上的点，且

D、E、F分别为 上的点，且

则△DEF为正三角形。

证明 由于△A1B1C1、△A2B2C2均为正三角形，由已知及定理1得△D'E'F’为正三角形。

同理，对△A3B3C3和△D'E'F'应用定理1得△DEF为正三角形。

定理5 △A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3同向相似，D'、E'、F'分别为A1A2、B1B2、C1C2上的点，且

D、E、F分别为 上的点，且

则△DEF与原三个三角形同向相似。

证明 由定理2，△D'E'F'与△A1B1C1、△A2B2C2同向相似；△DEF与△A3B3C3及△D'E'F'同向相似，故△DEF与△A1B1C1、△A2B2C2、△A3B3C3同向相似。

定理6 n边形 同向相似， 分别为 上的点，且

分别为上的点，且

则n边形与n边形同向相似。

例1 如图5，△ABC、△ADE均为正三角形，F、G、H分别为AB、CD、AE的中点，求证△FGH为正三角形。

证明对正△ABC和正△EAD应用爱可尔斯定理1，即得△FGH为正三角形。

例2 应用爱可尔斯定理证明拿破仑定理。

证明 如图6，对正△XCB、正△CYA、正△BZA，应用爱可尔斯定理2，即得△DEF为正三角形。