在 V 上取一组基，把线性变换 ρ(g) 在此基下的矩阵记作 T(g)，则 g→ T(g) 是 G 到一般线性群 GL(n,K) 内的同态，它称为 G 的矩阵表示。

在 V 上取一组基，把线性变换 ρ(g) 在此基下的矩阵记作 T(g)，则 g→ T(g) 是 G 到一般线性群 GL(n,K) 内的同态，它称为 G 的矩阵表示。

两个矩阵表示和称为等价的，如果有一可逆矩阵 P ，使得对一切，等式成立，所以对同一线性表示 ρ ，在 V 内取不同的基，所得到的矩阵表示是等价的。

[representation theory]

为了了解一个群的构造，我们常常研究它到某个具体的群内的同态，把这种同态称为表示(representation)。最常见的具体的群有矩阵群（即矩阵组成的群）和置换群，所以常见的表示就是矩阵表示(matrix representation)和置换表示(permutation represenation)。

在矩阵表示的情况下，人们自然地把矩阵当成线性变换来对待，从而可以使用线性代数的丰富成果以得到深入的结论。于是把矩阵表示一般化为线性表示(linear representation)即群到线性变换群的同态。现在人们所说的表示论实际上是关于群的线性表示的理论。