线性变换群(group of linear transformations )一种重要的非交换群。

线性变换群(group of linear transformations )一种重要的非交换群。设V是域F上的n维向量空间，用GL(V)表示V的所有一一线性变换的集合。若在GL(V)中把映射的合成作为运算，则GL(V)对于该运算成为一个群，称为线性变换群。

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

交换群是指其运算适合交换律的群，或称阿贝尔群。挪威数学家阿贝尔在研究高次方程的根式求解时，除了五次方程以外，他讨论了更广一类的方程，现称之为阿贝尔方程。其全部根都是其中一个根的有理函数，设x1是n次阿贝尔方程的一个根，其全部根则为 ，其中Qi(i=1，…，n-1)是有理函数，并且对于任意的1≤i≤j≤ n，有Qi(Qj(x1))=Qj(Qi(x1))。后人发现，阿贝尔方程是具有交换律的伽罗瓦群的方程。为了纪念阿贝尔，后人称交换群为阿贝尔群。

交换群是一般群论中的一个独特分支。在拓扑学和代数学中常常构造一些交换群，作为讨论问题的工具。例如，拓扑学中的基本群、同调群，代数学中的布饶尔群等等。交换群论与代数拓扑学、模论、同调代数、环论等有着密切的联系。

线性变换是线性代数的重要概念之一。设σ是数域P上的线性空间V的一个变换。若对于V中的任意向量α，β与P中的任意数k，有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，则称σ是V的一个线性变换。设σ是线性空间V的一个变换，若对于V中任意向量α，有σ(α)=α，则σ是V的线性变换，称为恒等变换，亦称单位变换，记为I。若V的变换σ对于V中的任意向量α，有σ(α)=0，则σ是V的线性变换，称为零变换，记为0。线性变换是欧氏几何中的变换、解析几何中的某些坐标变换、数学分析中的某些变量代换以及其他数学分支中某些类似的变换的抽象、概括与推广。数域上线性空间的线性变换可以推广为同一个域上的两个不同线性空间的线性映射。线性变换不仅是线性代数的主要研究对象之一，也是数学中的一个重要的概念。近代数学中的许多分支的研究对象，如泛函分析中的线性算子.同调代数中的模同态等都与线性变换有密切的联系。

变换群是几何学研究的重要对象。即由变换构成的群。设G是集合S的一一变换所构成的集合，若它满足：

1.集合内任二变换之积仍属于这集合；

2.集合内任一变换的逆变换仍属于这集合，

则称G为S的一个变换群。例如，平面上正交变换的全体构成的变换群称为正交群；平面上仿射变换的全体构成的变换群称为仿射群。平面上射影变换的全体构成的变换群称为射影群。在“埃尔朗根纲领”中，变换群可用来对几何学进行分类。

一组变换，对变换的乘积构成的群.设G为M上的有限或无限个变换的集合，若满足下面两个条件：①集合G中任意两个变换的乘积仍属于G;②集合G中每一个变换必有其逆变换，而且这个逆变换也属于G，则称G为M上的一个变换群。

例如，平移变换可以构成一个群：平面上任意两个平移变换的积仍是平移变换;每个平移变换都有逆变换，这个逆变换就是按原变换相反方向的变换，所以仍是平移变换。

用变换群来研究对应的几何学的观点，是由德国数学家克莱茵首先提出来的.1872年，克莱茵在埃尔朗根大学的教授就职演讲中，提出题为《关于近代几何研究的比较》的论文，论述了变换群在几何中的主导作用.他把到当时为止已发现的所有的几何，统一在变换群的观点之下，明确地给出了几何的一种新定义，即把几何定义为在某个变换群之下研究图形不变性质与不变量的一门科学.这种观点突出了变换群在研讨几何中的地位，为用近代数学方法研究几何学开辟了道路，因此后来把它简称为《埃尔朗根纲领》。

按照变换群的观点，几何学可以这样分类：研究射影变换群、仿射变换群、相似变换群、正交变换群下不变性质和不变量的几何学分别是射影几何学、仿射几何学、抛物几何学、欧氏几何学。正交变换群也称为运动群，欧氏几何学的主要内容就是研究运动群下不变性质和不变量的几何学。近代发展很快、应用越来越广的一门学科——拓扑学，就是研究拓扑变换下不变性质和不变量的几何学。