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积分变换

数学术语

积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。

积分变换的定义

通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知ƒ(x)，如果

存在（其中，α、b可为无穷），则称F(s)为ƒ(x)以K(s,x)为核的积分变换。

典型积分变换

积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换，此外还有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。傅里叶变换和拉普拉斯变换的详细介绍参考相关词条，这里就不再赘述。

梅林变换

当K(s,x)=xs_1，x>0，而ƒ(x)定义于[0，+∞)，函数（式(1)）：

称为ƒ(x)的梅林变换，式中s=σ+iτ为复数。M(s)的梅林反变换则定义为（式(2)）：

这里积分是沿直线Res=σ进行的。

(1)式与(2)式在一定条件下互为反演公式。例如，设(1)绝对收敛，在任何有限区间上ƒ(x)是有界变差的，且已规范，则由(1)可推得(2)，在l2(0,∞)空间中也有类似结果。

若以M(s,ƒ′)表示ƒ′(x)的梅林变换，则在一定条件下，有：

在一定条件下,还有下列梅林交换的卷积公式：

式中с>Res。

一些简单函数的梅林变换如下图所示：

汉克尔变换

设Jγ(x)为у阶贝塞尔函数（见特殊函数），ƒ(x)定义于[0，+∞)，则称（式(3)）：

为ƒ(x)的у阶汉克尔变换；而称（式(4)）：

为h(t)的汉克尔反变换。有的作者代替(3)与(4)改用与

效果是一样的。在一定条件下，(3)与(4)成为一对互逆公式，此外，还有：

一些简单函数的汉克尔变换如下图所示：

积分的分类

（1）定积分：设闭区间[a,b]上有n-1个点，依次为a=x0

（4）重积分；

同名图书《积分变换》

内容简介

本书是由刁元胜编著的。本书介绍了如何用积分变换的方法来简化数学问题中难以求解的问题。积分变换是通过积分的方法，把一个函数变换为另一个函数。对不同的变换选取不同的形式。这种变换是一一对应的，否则做逆变换的时候就不能得到唯一的解，不符合工程上解得唯一性原则，这样，积分变换就不具有实用价值。

附录

参考资料

最新修订时间：2023-01-05 07:45

条目作者

概述

积分变换的定义

典型积分变换

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