积性函数_数论函数 - 线报百科mbji.cn

积性函数

数论函数

积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

定义

积性函数：对于任意互质的整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

完全积性函数：对于任意整数a和b有性质f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

积性函数举例

μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目

gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况

d(n) －n的正因子数目

σ(n) －n的所有正因子之和

σk(n) －因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。

1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）

Id(n) －单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）

Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性）

ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n ＞ 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）

λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目

γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目

另外，所有狄利克雷特征均是完全积性的

非积性函数举例

冯·曼戈尔特函数：当n是质数p的整数幂，Λ(n)=ln(p)，否则Λ(n)=0

不大于正整数n的质数的数目π(n)

整数拆分的数目P(n)：一个整数能表示成正整数之和的方法的数目

积性函数的性质

性质一

若将n表示成质因子分解式

则有

性质二

若f为积性函数且有

则f为完全积性函数。

参考资料

积性函数的应用.《成都航空职业技术学院学报》2016年04期.

最新修订时间：2024-10-30 23:13

条目作者

概述

定义

积性函数举例

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