立方差公式是数学中常用
公式之一。在高中数学中接触该公式。完全立方差公式与完全
立方和公式共称为
完全立方公式。
简介
立方差公式也是数学中常用公式之一，在高中数学中接触该公式，且在数学研究中该式占有很重要的地位，甚至在高等数学、微积分中也经常用到。完全立方差公式与完全
立方和公式共称为
完全立方公式。
具体为：两数的平方和加上两数的积再乘以两数的差，所得到的积就等于两数的立方差。
用公式表达即：
证明
初级证明
由于立方项不好拆分，但是我们学过，遇到高阶项要尽量采用低阶项来对其进行简化处理，所以很容易想到a2，同时由于对a3降阶的同时还要和b3进行结合，所以很容易想到a2b这样一个加法项，因此对上式采取分别加和减一个a2b项，得到下式，同时进行相应的合并
a3-b3=a3-b3+a2b-a2b
=a2(a-b)+b(a2-b2)
=a2(a-b)+b(a+b)(a-b)
=[a2+b(a+b)](a-b)
=(a-b)(a2+ab+b2)
证得：
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
高级证明
因为(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3
所以根据交换律法则：
a3-b3=(a-b)3-(-3a2b+3ab2)
=(a-b)(a-b)2+(3ab*a)-(3ab*b)
=(a-b)(a-b)2+(a-b)(3ab)
=(a-b) [(a-b)2+3ab]
=(a-b) [(a2-2ab+b2)+3ab]
=(a-b)(a2+ab+b2)
证得：
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
公式推广
(1) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
b+...+(-1)^(r-1)a^(n-r)b^(r-1)+...+b^(n-1)]
n为大于零的奇数，r为中括号内项的序数，后面括号中各项式的幂之和都为n-1，an表示a的n次方。(n大于0且n不等于2)
解题时常用它的变形：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)和 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)=(a+b)(a2+b2-ab)
相应的，立方差公式也有变形：a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b)=(a-b)(a2+b2+ab)
推广：