等价范数(equivalence of norms)是同一个线性空间上的两个范数之间的一种关系。有限维空间上的任何两个范数必是等价的,且具有相同维数的两个有穷维
线性赋范空间在代数上是同构的,在拓扑上是同胚的。Banach空间中的两范数等价,则说明这两个范数的Banach空间拓扑性质相同,特别是 B 空间中序列的收敛性、集合的有界性、线性算子的有界性、以及一族算子的一致有界,在从一个范数变化到另一个范数时,都是不变的。
当赋准范数的线性空间中的准范数是范数时,称该空间为
赋范线性空间。
在许多分析问题中,引进范数或引进距离是为了研究一种
收敛性。因此,如果我们关心的只是按照一定意义的收敛性而不是距离本身的大小,那么在空间上我们就可以认为决定同一收敛性的不同范数是等价的。等价范数是同一个线性空间上的两个范数之间的一种关系。
Banach空间中的两范数等价,则说明这两个范数的Banach空间拓扑性质相同,特别是 B 空间中序列的收敛性、集合的有界性、
线性算子的有界性、以及一族算子的一致有界,在从一个范数变化到另一个范数时,都是不变的。
因此,与在同一个集合 X 上可以定义不同的距离使 X 成为不同的
度量空间一样,在同一个线性空间 E 上,也可以定义不同的范数,使E构成不同的
赋范线性空间。