在通常的应用中，例如在函数空间中，它们有一个代数结构，即构成一个线性空间，同时还与某种收敛性相联系，处理这种结构最常用的一般方法是引入一个范数，这样就导致赋范空间的概念。

向量的范数是长度概念的推广。设是域（实数域或复数域）上的线性空间，函数满足条件：

1)对；且当且仅当；

2)对，有（齐次性）；

3)对，有（三角不等式）。

称是上的一个范数，上定义了范数称为赋范(线性)空间，记为，有时简记为。

范数是一个连续函数，即当时，。

线性运算是连续的，即当及时，；

当及时，。

设是赋范空间。如果是完备的且级数

收敛，则级数

收敛且

。

反之，如果在一个赋范空间中，任意无穷级数收敛必有级数收敛，则空间是Banach空间。

在一个赋范空间中，通过范数可以自然地定义一个度量，

。

事实上，由范数公理，对，且，当且仅当，即；

；

。

称赋范空间中这个距离是由范数诱导的度量。

设是赋范空间中的点列，，如果

，

称强（或按范）收敛于，记为

，

或

。

如果赋范空间按强收敛是完备的，就称它为巴拿赫空间。

赋范空间的对偶空间为巴拿赫空间。

特别感兴趣的是称为巴拿赫空间的完备赋范空间。每个赋范空间V是巴拿赫空间内的一个稠子空间；这个巴拿赫空间本质上是由V定义的，称为V的完备化。

如果（V，‖·‖）是赋范空间，则‖·‖引入度量（距离的概念），并因此导致V上的拓扑。该度量以自然的方式定义：两个向量之间的距离u v由||u-v||给出。这种拓扑正是最弱的拓扑结构，使得“‖”连续，并且与以下意义上的V的线性结构兼容：

向量加法+：V×V→V相对于该拓扑结合是连续的。这直接来自三角不等式。

标量乘法：K×V→V，其中K是V的底层标量场，是联合连续的。这取决于三角不平等和规范的均匀性。

类似地，对于任何半赋范空间，我们可以将两个向量u和v之间的距离定义为‖u-v‖。这将把这个空间变成一个假的空间（注意这比一个度量要弱），并允许定义诸如连续性和收敛的概念。为了更抽象地说，每个半赋范空间是一个拓扑线性空间，因此承载了由半范数引起的拓扑结构。

有限维向量空间上的所有范数从拓扑观点是等价的，因为它们诱导相同的拓扑（尽管所得的度量空间不必相同）。并且，由于任何欧几里德空间是完备的，因此我们可以得出结论，所有有限维的赋范空间是巴拿赫空间。当且仅当单位球B = {x：‖x‖≤1}紧时，赋范空间V是局部紧的，当且仅当V是有限维的情况下才是这种情况；这是里斯引理的结果。 （事实上，更一般的结果是真实的：当且仅当它是有限维时，拓扑线性空间是局部紧的，这里的意思是我们不假定拓扑来自一个范数。）

信号向量空间的拓扑具有许多不错的属性。给定一个约0的邻域系，我们可以构建所有其他邻域系：

与：

此外，存在由吸收和凸集组成的0的邻域基。由于该属性在泛函分析中非常有用，因此在名称为局部凸空间的情况下研究了具有该属性的赋范空间的泛函。