等距嵌入问题(isometric imbedding problem)是子流形几何的一个重要问题。黎曼流形等距地嵌入到高维欧氏空间中作为子流形的问题。它是黎曼几何学中由来已久的重要问题。

等距嵌入问题(isometric imbedding problem)是子流形几何的一个重要问题。黎曼流形等距地嵌入到高维欧氏空间中作为子流形的问题。它是黎曼几何学中由来已久的重要问题。雅内特(Janet，N.)于1926年，嘉当(Cartan，E.)于1927年，就局部等距嵌入问题，即黎曼流形的一个局部区域等距嵌入到高维欧氏空间的问题，独立地证明了如下定理：任意n维解析黎曼流形能够局部等距地嵌入到：

维欧氏空间中。但是，若去掉解析性的要求，问题至今尚未解决。例如，对于最简单的n=2的情况，至今仍不知道一个高斯曲率变号的二维黎曼流形是否总可以局部等距嵌入到三维欧氏空间中。关于曲面的整体等距浸入问题，有著名的外尔问题：若二维黎曼流形M同胚于球面且高斯曲率恒正，则M能整体等距浸入到R中吗?这个问题已被尼伦伯格(Nirenberg，L.)和波戈列洛夫(Погорелов，А.В.)先后解决。亚历山德罗夫(Александров，А.Д.)则用完全不同的所谓凸度量理论的方法解决外尔问题。关于双曲平面，有著名的希尔伯特定理：常负高斯曲率的完备曲面不能C阶等距浸入到R中。后来叶菲莫夫(Ефимов，Н.В.)把上述定理的条件改进为严格负高斯曲率的完备曲面。

子流形几何是微分几何的一个分支。主要研究黎曼流形中各种子流形的结构及其性质。如极小子流形、常平均曲率子流形等。子流形几何与微分几何本身具有同样悠久的历史，它们都是在经典三维欧氏空间中的曲线论和曲面论的基础上发展起来的。在很长一段时期里，子流形几何学的发展仅限于局部性质的研究。随着微分流形理论和整体微分几何学的迅速发展，现代子流形几何学主要研究黎曼流形中各种子流形的整体性质，尤其是局部性质与整体性质的关系。实和复空间形式中的子流形理论是子流形几何学的重要方面。子流形几何学还与数学的其他分支学科密切相关，如微分方程、复变函数论、拓扑学、李群论、数学物理等，并且促进了这些学科的发展.可以说，子流形几何是微分几何中历久不衰的一个分支。

流形是一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间，在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个(局部)坐标系间的坐标变换都是连续的。n维流形的概念在18世纪法国数学家拉格朗日的力学研究中已有萌芽。19世纪中叶英国数学家凯莱(1843)、德国数学家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士数学家施勒夫利(1852)分别论述了n维欧几里得空间理论，把它视为n个实变量的连续统。1854年德国数学家黎曼在研究微分几何时用归纳构造法给出一般n维流形的概念：n维流形是把无限多个(n-1)维流形按照一维流形方式放在一起而形成的，从此开始流形的拓扑结构及其局部理论的研究。法国数学家庞加莱在19世纪末把n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维欧氏空间同胚的邻域(被称为庞加莱流形)，从而开辟了组合拓扑学的道路。

对流形的深入研究集中在流形上的微分结构与组合结构的存在性、唯一性问题，微分结构与组合结构的关系，流形的各种意义下的分类等问题，20世纪50—60年代做出许多重要结果，近几十年来出现有限维带边流形和无限维流形概念。流形理论在与其他拓扑理论的相互结合发展中也提出许多问题，其研究仍在继续。

黎曼流形是一黎曼度量的微分流形。设M是n维光滑流形，若在M上给定一个光滑的二阶协变张量场g，称(M，g)为一个n维黎曼流形，g称为该黎曼流形的基本张量或黎曼度量，如果满足：

1.g是对称的，即：

g(X，Y)=g(Y，X) (X，Y∈TpM，p∈M).

2.g是正定的，即：

g(X，X)≥0 (X∈TpM，p∈M)，

且等号仅在X=0时成立。

简单地说，黎曼流形就是给定了一个光滑的对称、正定的二阶张量场的光滑流形。

在微分流形以及黎曼几何中，一个黎曼流形是具有黎曼度量的微分流形，换句话说，这个流形上配备有一个对称正定的二阶协变张量场，亦即在每一点的切空间上配备一个正定二次型。给了度量以后，我们就可以像初等几何学中一样，测量长度，面积，体积等量。