在
数学分析中有一类关于
Sobolev空间中的
范数的Sobolev不等式。 这些
不等式可以用于证明Sobolev嵌入定理，给出某些Sobolev空间的包含关系。而Rellich-Kondrachov定理指出在稍强的条件下，一些Sobolev空间可以被紧嵌入到另一个空间。 这类不等式得名于谢尔盖·利沃维奇·索博列夫。
令W(R)表示包含R上所有满足前k阶
弱导数属于
L的实值函数的Sobolev空间。其中k是非负整数且有1 ≤p< ∞。Sobolev嵌入定理的第一部分指出如果k>ℓ且满足1 ≤p
那么
并且该嵌入连续。在k= 1且ℓ= 0的特殊情形，Sobolev嵌入定理给出
其中p是p的Sobolev共轭，如下给出
这个Sobolev嵌入定理的特例可由Gagliardo–Nirenberg–Sobolev不等式直接得出。
Sobolev嵌入定理的第二部分用于嵌入到Hölder空间C(R)。如果(k−r−α)/n= 1/p其中α∈ (0, 1)，则有嵌入
Sobolev嵌入的这个部分可由Morrey不等式直接得出。直观的说，这种包含关系表示足够高阶的弱导数存在性意味着一些经典导数的连续性。
一般Sobolev不等式
令U为R上带有C边界的有界开集。（U也可以无界，但这种情况下，它的边界如果存在，则必须是充分好的。）假设u∈W(U)，考虑两种情况：
k
这时u∈L(U)，其中
有估计
常数C只依赖于k,p,n和U。
k>n/p
这里u属于Hölder空间，更精确的：
其中
有估计
常数C只依赖于k,p,n,γ和U。
p=n,k=1情形
如果，则u是有界平均振动函数且有
对于某个常数C只依赖于n。这个估计是
庞加莱不等式的推论。
Morrey不等式
假设n
对所有u∈C(R) ∩L(R)，其中
因此如果u∈W(R)，则u在一个零测集上重新定义后，实际上为指数γ的Hölder连续。
一个类似的结果在带有C边界的有界定义域U上成立。此时，
其中常数C依赖于n,p和U。这一不等式可由前一不等式利用从W(U)到W(R)的保范延拓得到。
纳什不等式
纳什不等式，由
约翰·纳什引入，指出存在一个常数C> 0，满足对所有u∈L(R) ∩W(R),
这个不等式由
傅立叶变换的基本性质导出。实际上，在半径为ρ的球的补集上的积分，
在半径为ρ的球上的积分给出
其中ωn是n维球的体积。选择ρ最小化(1)和(
2)的和，再次使用帕塞瓦尔定理：
给出不等式。
在n= 1的特殊情形，纳什不等式可以扩展到L情形，此时是Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式的推广。实际上，如果I是有界区间，则对所有1 ≤r< ∞和所有1 ≤q≤p< ∞如下不等式成立
其中