紧开拓扑
拓扑学术语
在数学中,紧开拓扑是在两个拓扑空间之间的连续映射集上定义的拓扑。 紧开拓扑结构是功能空间中常用的拓扑结构之一,适用于同伦理论和功能分析。它是由Ralph Fox在1945年提出的。
定义
设Top(X,Y)为拓扑空间范畴的态射集。给定X的紧集K和Y的开集U,令N(K,U)表示Top(X,Y)中所有满足f(K)⊂U的函数f的集合。则N(K,U)是Top(X,Y)上紧开拓扑的子基。(此集合并不总是形成Top(X,Y)上拓扑的)给定了紧开拓扑的Top(X,Y)记为Cop(X,Y)
当在紧生成空间的范畴中工作时,通常将该定义修改为由作为紧豪斯多夫空间的映射K形成的基来进行修改。 当然,如果X紧生成且豪斯多夫,这个定义与前一个一致。 然而,如果要将紧生成的弱豪斯多夫空间的方便类别笛卡尔闭合,其他有用的属性,修改后的定义是至关重要的。这个定义与上述之间的混淆是由单词compact的不同用法引起的。
性质
如果*是一个点空间,则可以使用X来识别C(*,X),并且在该标识下,紧开拓扑与X上的拓扑一致。
如果Y是T0,T1,豪斯多夫,正则或Tychonoff,则紧开拓扑具有相应的分离公理
如果X是豪斯多夫,S是Y的子基,则集合{V(K,U):U∈S}是C(X,Y)上的紧开拓扑的子基。
如果Y是度量空间(或更一般地,均匀空间),则紧开拓扑等于紧收敛的拓扑。换句话说,如果Y是度量空间,则当且仅当对于X的每个紧子集K {fn}均匀地收敛于f时,序列{fn}收敛于紧开拓扑中的f。特别地,如果X是紧的并且Y是一个均匀的空间,那么紧开拓扑结构等于均匀收敛的拓扑。
如果X,Y和Z是拓扑空间,Y本地紧型豪斯多夫(或者甚至局部紧的规则),则给出组合图C(Y,Z)×C(X,Y)→C(X,Z)通过(f,g)↦f o g,是连续的(这里所有的函数空间都是紧开拓扑,C(Y,Z)×C(X,Y)被赋予乘积拓扑)。
如果Y是局部紧的豪斯多夫(或不规则)空间,则由e(f,x)= f(x)定义的评估图e:C(Y,Z)×Y→Z是连续的。这可以看作是上述的特殊情况,其中X是一点空间。
如果X是紧的,并且Y是具有度量d的度量空间,则C(X,Y)上的紧开拓扑是可辨别的,并且其的度量由e(f,g)= sup {d f(x),g(x)):x中的x},对于f,g∈C(X,Y)。
由于单点集为紧集,所以F上的紧开拓扑细于F上的点式收敛拓扑。若值域空间Y是豪斯多夫空间,则F上赋予紧开拓扑也是豪斯多夫空间。若Y是正则空间且F中每一元都是连续的,则F上赋予紧开拓扑也是正则空间。
紧开拓扑和联合连续拓扑的关系
定义1 a)设F是到的函数族,令:,对,使连续的F的不分明拓扑l称为联合连续的;b)F的不分明拓扑la,称为在的子空间才上联合连续,如果映射是连续的。
定理1 a)设F是到的函数族,则F上的在的每个良紧子空间上联合连续的拓扑l细于F的点式收敛拓扑;b)当是Tj的,则l细于F的紧开拓扑;c)如果是正则,T2的且F的每个成员在的每个良紧子空间上连续,则F的紧开拓扑在的每个良紧子空间上联合连续。
参考资料
最新修订时间:2022-09-24 10:07
目录
概述
定义
性质
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