约瑟夫问题，是一个计算机科学和数学中的问题，在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环，又称“丢手绢问题”。

据说著名犹太历史学家Josephus（弗拉维奥·约瑟夫斯）有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决。Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是教徒。

问题分析与算法设计

约瑟夫问题并不难，但求解的方法很多；题目的变化形式也很多。这里给出一种实现方法。

题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示，可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止。

约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3。

分析：

（1）由于对于每个人只有死和活两种状态，因此可以用布尔型数组标记每个人的状态，可用true表示死，false表示活。

（2）开始时每个人都是活的，所以数组初值全部赋为false。

（3）模拟杀人过程，直到所有人都被杀死为止。

用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O（nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1)），从0开始报数，报到（m-1）的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1）mod n）出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m mod n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换：

k --＞0

k+1 --＞1

k+2 --＞2

...

...

k-2 --＞n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗。变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k) mod n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解。对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢。当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题。好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m) mod i; (i＞1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

这个算法的时间复杂度为O（n），相对于模拟算法已经有了很大的提高。就算n，m等于一百万，一千万也不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

该程序基于python3.x实现

描述 Description

n个人排成一圈。从某个人开始，按顺时针方向依次编号。从编号为1的人开始顺时针“一二一”报数，报到2的人退出圈子。这样不断循环下去，圈子里的人将不断减少。由于人的个数是有限的，因此最终会剩下一个人。试问最后剩下的人最开始的编号。

输入格式 Input Format

一个正整数n，表示人的个数。输入数据保证数字n不超过100位。

输出格式 Output Format

一个正整数。它表示经过“一二一”报数后最后剩下的人的编号。

样例输入 Sample Input

9

样例输出 Sample Output

3

时间限制 Time Limitation

各个测试点1s

注释 Hint

样例说明

当n=9时，退出圈子的人的编号依次为：

2 4 6 8 1 5 9 7

最后剩下的人编号为3

初见这道题，可能会想到模拟。可是数据实在太大啦。

我们先拿手来算，可知n分别为1，2，3，4，5，6，7，8...时的结果是1，1，3，1，3，5，7，1...

有如下规律：从1到下一个1为一组，每一组中都是从1开始递增的奇数，且每组元素的个数分别为1，2，4...

这样就好弄了。

大体思路如下：

①read(a)

②b:=1,c:=1{b为某一组的元素个数，c为累计所加到的数}

③while c加数}

⑥c:=c-b{退到前一组}

⑦x:=a-c{算出目标为所在组的第几个元素}

⑧ans:=x*2-1{求出该元素}

⑨write(ans)

有了思路，再加上高精度就可以了。我写的代码比较猥琐，因为是先把上面的思路敲进去，再写过程，又把一些简单的过程合到主程序中了，所以有点乱，也有点猥琐。起提供思路的作用还是完全可以的吧~~~

一． 问题描述：

一堆猴子都有编号，编号是1，2，3 ...m，这群猴子（m个）按照1-m的顺序围坐一圈，从第1开始数，每数到第N个，该猴子就要离开此圈，这样依次下来，直到圈中只剩下最后一只猴子，则该猴子为大王。

约瑟夫

问题描述：编号为1、2、3、...、N的N个人按顺时针方向围坐一圈，每人持有一个密码（正整数）。从指定

编号为1的人开始，按顺时针方向自1开始顺序报数，报到指定数M时停止报数，报M的人出列，并将

他的密码作为新的M值，从他在顺时针方向的下一个人开始，重新从1报数，依此类推，直至所有的

人全部出列为止。请设计一个程序求出出列的顺序，其中N≤30，M及密码值从键盘输入。

二． 基本要求：

（1） 输入数据：输入m,n m,n 为整数，n

（2）中文提示按照m个猴子，数n 个数的方法，输出为大王的猴子是几号 ，建立一个函数来实现此功能

编程解决

php有非常完善的数据结构模拟方案,可以非常简洁的解决这样的问题!

3. Python遍历数组

笔算解决

笔算解决约瑟夫问题

在M比较小的时候 ，可以用笔算的方法求解，

M=2

即N个人围成一圈，1，2，1，2的报数，报到2就去死，直到只剩下一个人为止。

当N=2^k的时候，第一个报数的人就是最后一个死的，

对于任意的自然数N 都可以表示为N=2^k+t，其中t

于是当有t个人去死的时候，就只剩下2^k个人 ，这2^k个人中第一个报数的就是最后去死的。这2^k个人中第一个报数的人就是2t+1

于是就求出了当M=2时约瑟夫问题的解：

求出不大于N的最大的2的整数次幂，记为2^k，最后一个去死的人是2(N-2^k)+1

M=3

即N个人围成一圈，1，2，3，1，2，3的报数，报到3就去死，直到只剩下一个人为止。

此时要比M=2时要复杂的多

我们以N=2009为例计算

N=2009，M=3时最后被杀死的人记为F（2009,3），或者可以简单的记为F（2009）

假设这种情况下还剩下n个人，则下一轮将杀死[n/3]个人，[ ]表示小于等于这个数的最大整数，还剩下n-[n/3]个人

设这n个人为a1,a2,...,a(n-1）,an

从a1开始报数，一圈之后，剩下的人为a1,a2,a4,a5,...a(n-n mod 3-1）,a(n-n mod 3+1）,..,an

于是可得：

1、这一轮中最后一个死的是a(n-n mod 3），下一轮第一个报数的是a（n-n mod 3+1）

2、若3|n，则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3]）个人

若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])<=n mod 3则最后死的人为新一轮的第n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3）人

若n mod 3≠0 且f(n-[n/3])>n mod 3则最后死的人为新一轮的第F(n-[n/3])-（n mod 3）人

3、新一轮第k个人对应原来的第 3*[(k-1）/2]+(k-1）mod 2+1个人

综合1，2，3可得：

F（1）=1,F（2）=2,F（3）=2,F（4）=1,F（5）=4，F（6）=1，

当f(n-[n/3])<=n mod 3时 k=n-[n/3]+F(n-[n/3])-（n mod 3），F(n)=3*[(k-1）/2]+（k-1）mod 2+1

当f(n-[n/3])>n mod 3时 k=F(n-[n/3])-（n mod 3） ，F(n)=3*[(k-1）/2]+（k-1）mod 2+1

这种算法需要计算 [log（3/2）2009]次 这个数不大于22，可以用笔算了

于是：

第一圈，将杀死669个人，这一圈最后一个被杀死的人是2007，还剩下1340个人，

第二圈，杀死446人，还剩下894人

第三圈，杀死298人，还剩下596人

第四圈，杀死198人，还剩下398人

第五圈，杀死132人，还剩下266人

第六圈，杀死88人，还剩下178人

第七圈，杀死59人，还剩下119人

第八圈，杀死39人，还剩下80人

第九圈，杀死26人，还剩下54人

第十圈，杀死18人，还剩36人

十一圈，杀死12人，还剩24人

十二圈，杀死8人，还剩16人

十三圈，杀死5人，还剩11人

十四圈，杀死3人，还剩8人

十五圈，杀死2人，还剩6人

F（1）=1,F（2）=2,F（3）=2,F（4）=1,F（5）=4，F（6）=1，

然后逆推回去

F（8）=7 F（11）=7 F（16）=8 f（24）=11 f（36）=16 f（54）=23 f（80）=31 f（119）=43 f（178）=62 f（266）=89 f（398）=130

F（596）=191 F（894）=286 F（1340）=425 F（2009）=634

规律解决

视频中给出了经典的约瑟夫问题的数学解法，当猴子选王问题的N=2时就是经典的约瑟夫问题

对于经典约瑟夫问题，视频中的解法是：

1）找出令等式 成立的最大的 ，记为

2）求解出

3）所以，最后留下来的人的序号为

视频中给出的解释是：

当 时，序号为1的人总是是最后留下来的人。对于 ，当去掉 个人后，剩下的人正好组成 个人围成的圈，此圈中的序号1的人将是最后留下来的人。而对应到原来的圈，这个人的序号就是 ，因为去掉 个人时正好就跳过了 个人，而下一个人的序号就是 。

推广到猴子选王问题，从以上解法不难看出，解法就是把2换成N，即：

1）找出令等式 成立的最大的 ，记为

2）求解出

3）所以，最后留下来的猴子的序号为 ，mod是取余数，例如：3 mod 2 = 1

参考资料

犹太历史书写之起源与约瑟夫斯问题 - 乌有之乡.乌有之乡.

【Numberphile】互砍惨案！约瑟夫斯问题.bilibili.2017-01-07

最新修订时间：2024-11-17 13:19