在代数几何中，一个概形S上的群概形G是范畴SchS中的群对象，具体定义请参见正文。

在代数几何中，一个概形S上的群概形G是范畴中的群对象。借由米田信夫引理，我们可以给出两种刻划：

以乘法、单位元与逆元定义：存在中的态射，乘法：，单位元：，逆元：，并满足结合律等等群的性质。

以函子性定义：点函子透过遗忘函子分解。

换言之：对于任意的S-概形T，构成一个群；而且对任意S-态射，诱导映射都是群同态。

代数群：设k为域，上的连通、光滑群概形称作k上的代数群。

李代数：群概形G自然地作用在它的全体向量场上。G的全体左不变向量场称作G的李代数，记为；它是S上的层。

交换环谱的群概形结构一一对应到A的Hopf代数结构。

阿贝尔簇：即一个域k上的真（proper）代数群，它们必然是可交换的。

线性代数群：即中的闭子群。仿射代数群都是线性代数群，它们在表示理论及数论中占有根本地位。Chevalley定理断言：若k代数封闭，则对所有代数群G都存在短正合列，其中H是线性代数群而A是阿贝尔簇。在此意义下，所有代数群都是由阿贝尔簇与线性代数群建构而来。

设，并考虑的谱。这些群在拓朴上只有一个点，但其结构层带有幂零元素。这些子群在代数群的研究中相当常见，同时也是理解时的代数群之重要关键。

代数几何是数学的一个分支。经典代数几何研究多项式方程的零点，而现代代数几何将抽象代数，尤其是交换代数，同几何学的语言和问题结合起来。

代数几何的基本研究对象为代数簇。代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。常见的例子有平面代数曲线，比如直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线、三次曲线（非奇异情形称作椭圆曲线）、四次曲线（如双纽线，以及卵形线）、以及一般n次曲线。代数几何的基本问题涉及对代数簇的分类，比如考虑在双有理等价意义下的分类，即双有理几何，以及模空间问题，等等。

代数几何在现代数学占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。始于对代数方程组的研究，代数几何延续解方程未竟之事；与其求出方程实在的解，代数几何尝试理解方程组的解的几何性质。代数几何的概念和技巧都催生了某些最深奥的数学的分支。