在数学上，证明是在一个特定的公理系统中，根据一定的规则或标准，由公理和定理推导出某些命题的过程。

(1)据实以明真伪。

《汉书·儒林传·孟喜》：“同门梁丘贺疏通证明之。”

颜师古注：“证明，明其伪也。”

宋张载《经学理窟·义理》：“《家语》、《国语》虽於古事有所证明，然皆乱世之事，不可以证先王之法。”

峻青《海啸》第二章十七：“这个决定，现在已为事实所证明，也无需进行任何解释了。”

(2)参悟。

《坛经·忏悔品》：“以自性三宝，常自证明，劝善知识！”

明李贽《解经题》：“岂知此经为了义之密经，此修为证明之密修。”

《老残游记续集遗稿》第五回：“又问道：‘你是几时澈悟到这步田地的呢？’逸云道：‘也不过这一二年。’德夫人道：‘怎么便会证明到这地步呢？’”

(3)证人或证据。

《二刻拍案惊奇》卷十三：“世间有此薄行之妇！官府不知，乃使鬼来求申，有媿民牧矣。今有烦先生做个证明，待下官尽数追取出来。”

《明成化说唱词话丛刊·张文贵传上》：“便把日头为证见，日月三光作证明。”

(4)证明身份或权力的文件。

赵树理《登记》：“我听说他们两个要到区上登记，村公所不给开证明。”

(5)逻辑学：所有的证明都是以矛盾律的有效性为前提。

(6)真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。

证明论（Prooftheory）是研究数学证明的数学理论，它是数理逻辑的分支学科。它将数学证明表达为形式化的数学客体，从而通过数学技术来简化对他们的分析。证明通常用归纳式地定义的数据结构来表达，例如链表，盒链表，或者树，它们根据逻辑系统的公理和推理规则构造。因此，证明论本质上是语法逻辑，和本质上是语义学的模型论形相反。和模型论，公理化集合论，以及递归论一起，证明论被称为数学基础的四大支柱之一。