设C是
代数曲线,如果存在一个从C到
射影直线P1的二次覆盖(即
全纯的2:1
满射),就称C是超椭圆曲线。超椭圆曲线在密码学中有很大的应用。
美国华盛顿大学教授Neal Koblitz首先发明了超椭圆曲线密码。超椭圆曲线密码是利用超椭圆曲线C的Jacobian上的离散对数问题(HECDLP)的“不可行性”。但是只有亏格为2的超椭圆曲线密码的安全性能和椭圆曲线密码的安全性媲美。
超椭圆曲线是仿射曲线的非奇异射影模型,这里f(x)是一个没有重根的次数为奇数n的多项式(偶次数2k的情形可归结为奇次数2k-1的情形)。超椭圆曲线的函数域(超椭圆函数域)是
有理函数域的二次扩张;从这个意义上讲它是除了有理函数域之外的最简单的
代数函数域。
亏格为2的
曲线必定是超椭圆曲线。 超椭圆曲线的曲线自同构群Aut(C)包含一个
对合映射,从而诱导出到P1的二次覆盖,对合映射的不动点恰好就是二次覆盖的分歧点。Aut(C)可以由P1的曲线
自同构群诱导出来。对于域K,亏格为g超椭圆曲线的基本形式是,其中f(x)为2g+1次多项式,h(x)是次数小于等于g的多项式。多项式的系数都在K上。
美国华盛顿大学教授Neal Koblitz首先发明了超椭圆曲线密码。超椭圆曲线密码是利用超椭圆曲线C的Jacobian上的离散对数问题(HECDLP)的“不可行性”。但是只有亏格为2的超椭圆曲线密码的安全性能和椭圆曲线密码的安全性媲美。无论是域K过小或者亏格g过大都会使得超椭圆曲线密码不安全。