边界条件 y=0,u=v=0,y=∞，u=U(x,t)，式中u、v为x、y方向的速度分量；p为压力；ρ为流体密度。原来y方向的动量方程简化成 ，它表示在边界层内沿垂直于壁面方向的压力保持常值，即壁面上某点的压力p等于无粘性外流在此点计算出的p值，因此在边界层流动计算中，p被认为是已知的物理量。
如果物面是曲面，可以选取曲面坐标系，沿物面方向为x，垂直于物面方向为y。同样得出 在y方向的增长也是δ的量级，可以忽略。
关于湍流边界层方程，由于流动随时间、空间而变更，情况非常复杂，因而尚未通过实验弄清湍流的物理机理，得出公认的模型。所以多年来，人们针对不同情况提出了各种半经验理论和假设求平均流解。
在湍流边界的一般情形中，流体微团的瞬时速度可表为平均速度与脉动速度之和(如x方向等)。由于脉动速度间的动量交换而引起的湍流边界层中的附加湍流应力(也叫雷诺应力)是：
它是一个张量。在二维情形中，雷诺应力τt可写成(见湍流理论):
式中ετ称为涡粘性系数，上面的横线表示平均值。二维不可压缩湍流边界层的微分方程组为：
边界层动量积分方程
此为T．von卡门于1921年所提出，又称卡门积分关系式，是工程上常用的近似法，对常、二维不可压缩层流和湍流
(采用平均速度分量)边界层都能用。这个方程是在边界层内取一个控制微元，用动量定理使在x方向的总动量增加率等于单位时间内流出动量与流进动量之差得出的。因为求动量是从壁面y=o到y=δ求积计算的，所以得出的是平均值，即是近似法。此积分关系式为：
式中τ0为物面上的剪应力，用位移厚度δ1和动量厚度δ2代入，可写成：
或
式中
层流边界层
流体绕物体流动时，在物体的前端或上游部分的边界层，一般是层流边界层。沿曲面的层流边界层。由于外流速度有变化，与平板有所不同，但速度分布大致类似。紧贴物面的速度梯度较大，因而剪应力也较大。物面上的剪应力为：
式中μ为流体动力粘性系数。算出了τ0，就可求出物面的摩擦阻力系数和摩擦阻力。但这些计算只能用于分离点以前。
层流边界层的微分方程
比纳维—斯托克斯方程简单，但仍是非线性的偏微分方程。二维层流边界层方程的早期解法是找出无量纲的组合自变数，代入式内把方程变为常微分方程，再用级数法求出摩阻系数，或直接找它的数值解。这种方法叫“相似解”。“相似解”对绕平板流、绕楔形体流，收缩管道流、绕圆柱体对称流等都可用。由于电子计算机的发展，已能用有限差分方法或有限元法直接求非线性偏微分方程的数值解。
层流边界层的动量积分
它比偏微分方程的数值解法简便得多，但不能提供边界层内详细的流动特性变化(如速度分布等)。因此若只要求边界层特征物理量(如位移厚度，壁面剪应力等)沿物面的变化情况，它是一种实用的工程方法。对一些复杂的流动问题，如粘性流动和非粘性流动的相互作用问题，还常常使用它来计算边界层的特性。
三维层流边界层的计算
如果是旋转对称体的绕流，可以通过转换式[如曼格勒(Mangler)转换式]化成二维形式，就可利用现有的二维解。绕任意物体的三维计算，要比二维复杂得多，因此只能依靠数值求解的办法。
层流边界层的过渡和稳定性
自从O．雷诺对圆管流动的实验证明管内流动先是层流然后过渡到湍流后，他用一无量纲比值(即雷诺数)作为流动参数。对于每一种特定形状都有一个临界雷诺数，例如圆管流动的临界雷诺数为2000，超过这个值，层流就过渡到湍流(见层流)。在边界层内存在着类似的临界雷诺数概念，不过边界层的雷诺数通常写作
临界雷诺数Recr，可以通过实验得出。层流向湍流过渡除与雷诺数关系最大外，还受其他许多参量的影响，例如外流的湍流度，逆压梯度、流体吹入、流过凹面上的离心力、非均匀流中的浮力、物面粗糙度、流体与物面的热交换等，都会增加不稳定因素，容易引起层流边界层的过渡。
层流边界层稳定性理论
在理论方面，常用小扰动稳定理论，即假设层流流动是由平均流动(可看作定常流动)加上小扰动正弦流动合成的，如果小扰动随时间的增加而增大，则是不稳定的，有可能过渡成湍流。通常所谓奥尔—索末菲方程就是小扰动理论的方程(见流体运动稳定性)。
讨论平行流边界层稳定性时，常用托尔明—施利希廷稳定性理论。它的基本思想是：层流边界层流过物面时，总要受到一些小的扰动(如尖端、粗糙板面等)，因而在层流边界层中，包含有许多振幅非常小的速度脉动，其频率范围很广。在某种情况下，若某一频率的脉动得到加强，而其他频率减弱．则前者在此频率下迅速增大振幅(在边界层内的这一波动叫作托尔明—施利希廷波)，使层流不稳定，导致形成湍流。反之，如果脉动的所有频率的振幅都减弱，则层流稳定。
层流边界层向湍流边界层的过渡
层流的稳定性理论并不能说明由层流向湍流过渡的全部物理现象。过渡是一个非常复杂的流动过程，直到目前为止．人们对它还没有很清楚的了解。从绕平板这样一个简单流动来看，若外流湍流度低，流过平滑平板时，层流边界层向湍流边界层过渡大致经过以下几个阶段(图3)：①靠近平板前端是稳定的层流边界层，②过临界雷诺数后．有不稳定的二维托尔明—施利希廷波，③不稳定的层流三维波继续发展，并形成小涡，④在很强的局部剪应力处，涡旋破裂，产生三维湍流脉动，⑤在湍流速度脉动很大的地方，产生许多湍流班点；固⑥许多湍流斑点联合在一起，发展成为完全发展了的湍流边界层。
在大多数情况下，由湍流斑点发展成为完全湍流时，同时形成许多分离气泡。在上述过程中，只能对①、②、③进行理论分析，其他各过程还有待于今后进一步探索，沿曲面有离心力的流动的不稳定性，与上述的不同。例如在两个能作同心旋转的内，外圆筒间的层流流动，当内筒旋转外筒不动时产生泰勒涡(见流体运动稳定性)，层流不稳定：而外筒旋转内简不动时，层流稳定；两筒作相反方向旋转时又不稳定。又如沿凹面的层流流动．产生垂直于流向的格特勒祸，也引起不稳定。
当层流边界层过渡到湍流边界后，边界层厚度δ增大(图3)，同时阻力也增大。仍以平行流流过平板为例，阻力系数C1f与雷诺数Re两者的关系如图4(用双对数坐标)所示。
湍流边界层
在自然界和工程中，运动物体(如飞机、叶栅等)表面上的流动大部分是湍流边界层。由于湍流是有涡流动，有随机的脉动，流动随空间和时间都在变化．所以湍流边界层的内部结构比层流边界层复杂得多。由于湍流内有垂直流向的动量交换，它在与壁面垂直截面上的速度分布与层流边界层的不同，下端丰满一些(图5)。
由实验数据，可把湍流边界层近似地看作由内区和外区组成。这样的分法是因为靠近壁面的粘性剪应力与压力梯度在这两个区内是截然不同的。内区包括贴近壁面的粘性底层．其中剪应力最大，由许多小旋涡组成，向上是缓冲层，再向上直到边界层外区是大尺寸旋涡组成的动量交换较大的湍流层．外区是从这个湍流层一直到速度与外流极相近的地方。总的说，内区占边界层全层的20%。
湍流边界层理沦
从湍流边界层的研究历史来看，存在着两种理论，它们分别发展又相互关联．一种是统计理论．另一种是半经验理论。
①在统计理论中，把流体看做连续介质，把流速、压力等的脉动值看做连续的随机函数，通过各脉动值的相关函数和谱函数来描述湍流流动。按统计平均法，从中找出脉动结构，把各种平均值代入纳维—斯托克斯方程及其他方程，得出所谓雷诺方程。但统计理论主要用于研究均匀各向同性湍流．对湍流边界层流动并不适合．
②在另一种半经验理论中因为湍流边界层方程的数目少于未知量的数※．方程组是不封闭的，因而需要补充一些关系式．由此而产生的一些不严谨的近似理论为半经验理论．这些理论昌无严格的依据，但对解决工程上的许多问题很有用处。又因为其中有些系数是从实验中求出的，所以用这些半经验理论算出的结果，常与实验较吻合，但它们的适用范围有局阻性。常用的半经验理论有：J.V.布森涅斯克于1877年提出的，用涡粘性系数计算雷诺应力的公式，昔朗特的混合长理论(动量传递理论)：G．I．泰勒的涡旋传递理论，卡门的相似理论等。这些半经验理论的缺点是对湍流的内部结构都没有做分析，使用范围有限。
湍流边界层实验
对边界层的研究，实验是很重要的手段．尤其是湍流边界层测量．许多国家都成立了小组在不断地进行研究。一般实验是在水槽或风洞内进行的。所用的流场显示法有氢气泡法，烟迹法．涂在物面上的袖流法等。测量方法近代多用热线，热膜和激光测速、激光全息摄影等(见湍流实验)。
边界层分离
流体流过曲面时，它的速度和压力都有变化。当流速减少时，压力必定增加。由于在边界层内的流体微团有动量损失，如遇到下游压力增加(即有逆压梯度)时，则动量再减少，直到流体微团不能再在物面上前进时就会从物面分离．这一现象叫做边界层分离(图76)。气流开始离开物面的点称为分离点．它的位置是由物面处的来确定的，即该点在物面处的法向速度梯度为零．图7表示出平行流流过对称翼剖面的二维流动，在翼剖面后部有逆压梯度处边界层分离的情况，以及在分离点s附近的速度分布．注意在分离点处的速度分布曲线上有拐点，分离区内沿物面有反向(向前)的流动．产生涡旋，并形成物体后面的尾涡。机翼上边界层分离，使机翼的举力受到限制。并增加阻力。大攻角翼上分离会造成飞机的失逮，涡轮泵，压气机、螺旋桨等的浆叶上的气流分离使机械效率降低，并能腐蚀壁面．
二维绕物体边界层分离有两种情况：一种是从分离点后，主流离开物面，并在下游形成较大的旋涡区；这种分离在一般攻角时，常发生在机翼(举例说)的后部(图6和图7)；另一种是从分离点S，后，主流先离开物面，然后又在A点附着在物面上，形成气泡——局部回流区(图8)。分离气泡多是先层流分离，中间变为湍流．底层得到动能，再附着物面．在厚机翼时，分离常发生于机翼后部；在薄机翼时，则常在前缘附近产生气泡分离。三维边界层分离较复杂．甚至如何定义分离点，尚没有一致的看法．湍流边界层分离与层流边界层分离相同，但因湍流内部有上下的动量交换，对同一外形物体，湍流边界层的分离点比层流边界层靠后．在特定情况下．人们可以人为地固定分离点，利用气流分离后形成的涡旋对物体的作用，产生有利的效果．例如航空上采用边条小翼，就是利用它的前缘分离涡，以增加小展弦比的基本翼上的非线性举力。
在实验方面．测分离点位置可用模型表面的油流法、丝线法和用普雷斯顿管等．
各国对分离流尤其是对二维非定常流和三维定常流中边界层分离的起始及分离点．线附近流动问题的研究愈益重视，已有一些近似理论如三层结构等，也试提出二维、三维流动的分离判据，研究正在不断深入中。
边界层控制
在应用上(例如对航空飞行器来说)，层流边界层的过渡和分离，使机翼等阻力增加和(或)举力减少(甚至失速)，因此人们很早就设法使机翼表面光滑，并设计“层流翼剖面”，以维持层流边界层。但这种控制是有限的，所以人们后来采用了许多人工控制边界层的方法，以达到影响边界层结构，从而避免边界层内气流分离，和减少阻力增加举力的目的。实验和理论得出如下的使流体局部加速的几种有效方法：①使部分物面移动，②通过物面上的喷孔(狭缝)吹出流体，以增加表面滞流的能量(图9)；③通过物面上的狭缝，吸走滞流，使边界层变薄，以抑制分离；④用不同气体喷射，加速滞流；⑤变更机翼形状
参考文献
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