连通关系(connected relation)亦称弱连通关系、严格可比关系,是一种特殊的关系。在类K中,对于一个关系R来说,如果类K中任意两个不同的个体x,y,至少使二公式:xRy,yRx中有一个为真,则称关系R在类K中是连通的关系。例如,在
实数域中大于关系、小于关系就都是连通的关系。
基本介绍
连通关系是指任意两个不同的事物之间,与其反关系总有一个成立的那种关系。集合A上的
二元关系R,对任何a,b∈A,a≠b有aRb或bRa,用符号表示:R是A上的连通关系∀a∀b(a∈A∧b∈A∧a≠b→aRb∨bRa)。当R是A上的连通关系时,称R在A上是连通的,或称A上的关系R有连通性。
例如,实数集上的小于关系“<”是连通的,“≤”也是连通的.A上关系R是连通的,当且仅当它把A中任何两个不相同的元素都联系起来。如R的矩阵为MR=(rij)λ,则对任何i,j∈λ,i≠j时rij与rji中至少有一个是1;如R是连通的,则R是连通的,且R∪R-1的矩阵
主对角线以外的元素全为1;若R,G是连通的,则R∪G也是连通的。
相关介绍
非空集X上的二元关系R,为X中元素所有序对的乘积集合X×X={(x,y):x,y∈X}的子集,我们写成xRy(x与y有关系R),这就是说,(x, y)处于关系R中,同样,非(xRy)意为(x,y)不是处在关系R中,即x与y没有关系R。
二元关系的八种内在属性,按以下四组关系列出,定义的表示式意即对X所有元素x, y, z都适用,
自反性:xRx;
非自反性:非(xRx);
对称性:如xRy,则yRx;
反对称性:如xRy,则非(yRx);
传递性:如xRy且yRx,则xRz;
负传递性:如非(xRy)且非(yRz),则非(xRz);
连通性:xRy或yRx;
弱连通性:如x≠y则xRy或yRx。
除了最后两项,其他都是标准术语,连通性常常称做强连通性或完备性,弱连通性有时也叫做完备性,连通性或弱连通性。这里,名词就按以上定义的使用。
第一组两个性质是相反的(不能同时并存),但对后面三组就不是这样。比方说,反对称和负传递性蕴含传递性,连通性蕴含弱连通性,而对称与反对称仅当R为空集时并存。假如R非空,则对称性与反对称性为相反互斥。
设X为所有活人的集合:则“高于”就是非“自反”、反对称、传递的和负传递的;“如....一样老’就是自反的,传递的,负传递的和连通的;“为.....的姐妹”(至少同父或同母)是对称的(无传递性,为什么?),而“知道....的名字”解释健忘症,对上面八个属性都不满足。
传递的二元关系称为序或序关系.可惜, 序关系名词的使用不是一致的。例如,非对称,传递的和弱连通的关系(如在实数集合中的“大于”),使用着不同的称呼,如线性序、强序、简单序、整序、全序、连通序和链等名称,其中有些也用来命名其他特征定义的序。因之,当提到某一类型的序的时候,重要的是要弄清它的定义特性。