链复形(chain complex)是一种抽象的复形。复形常指上复形。上复形亦称上链。一种特殊的模同态序列。

链复形(chain complex)是一种抽象的复形。

设{Cq}q∈ℤ是一族阿贝尔群与满足∂q∘∂q+1=0的一族群同态{∂q:Cq→Cq-1}q∈ℤ，则由它们组成的C={Cq,∂q}q∈ℤ称为一个链复形。同态∂q称为链复形的边缘算子。

设R为交换环，则链复形X与Y之间的张量积定义为(X⨂Y)n=∑i+j=nXi⨂Yj。

链复形的张量积的微分定义为d(x⨂y)=dx⨂y+(-1)deg(x)x⨂dy。

群Cq及其子群：

Zq(C)=ker∂q，　Bq(C)=Im∂q+1

分别称为链复形C的q维链群及q维闭链群，q维边缘链群，商群Hq(C)=Zq(C)/Bq(C) (q∈Z)称为链复形C的q维同调群。类似地可定义和讨论与链复形有关的链映射、链同伦以及链复形的同调列等同调论。

从单纯同调群和奇异同调群的理论可看出这些对象有许多共同特征。比如它们都有一系列交换群，以及满足∂q°∂q+1=0的一系列边缘同态算子。为了深入研究同调论，有必要抽象出这些代数的概念。

上链复形是一种特殊的模同态序列。设有A-同态序列：

这个序列的两个方向都是无限的，若对每个整数n皆有dd=0，则称序列(1)为环A上的上复形.把模同态d：X→X称为上边缘同态或上边缘算子。为简便起见，用(X，d)代表复形序列(1).如果记Xn=X，dn=d，则序列(1)可以表示为：

且dndn+1=0，把序列(2)称为环A上的复形或链，模同态dn称为边缘同态或边缘算子。

设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤。称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：

设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射。f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。

设G为乘法群，而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。

设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态。这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有：

f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，

并且f将A的单位元变成B的单位元。

例如，设n为非零自然数；使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。

例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基。则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。

同态的概念能用抽象的方式加以推广。

链群是建立同调群的重要概念。设K是一个n维复形，它的全体q维单形的集合记为{sqi|i=1，2，…，αq，q=0，1，…，n}。设sqi是q维单形sqi任意选定了一个定向后形成的有向单形，当q=0时，记s0i=+〈ai〉，则这样的有向单形组：

{sqi|i=1，2，…，αq，q=0，1，2，…，n}

称为复形K的有向单形的一个基本组。对于整数加群Z中的整数gi，约定gisqi=(-gi)(-sqi)，则以整数为系数的任意一个线性组合：

称为K的一个q维链；当其系数全为零时，这个链用0表示。若另有q维链：

定义它们的和为

则对这样的加法，K的全体q维链形成一个自由交换群，称为K的q维链群，记为Cq(K;Z)，或简记为Cq(K)。基本组{sqi}为这链群的一组基。为了方便也可将q推广到所有整数，当q<0或q>n时，规定Cq(K)=0。