锥面_数学名词 - 线报百科mbji.cn

锥面

数学名词

过定点M1的动直线L沿着一条确定的曲线C移动所形成的曲面称为锥面。直线L称为锥面的生成直线(母线)，曲线C称为准线，而定点M1叫作锥面的一个顶点。

定义

通过一个定点V且与定曲线(它不过定点V)相交的所有直线构成的曲面称为锥面；定点V叫做顶点。定曲线叫做锥面的准线，构成曲面的每一条直线叫做母线。设锥面的准线的方程为

那么通过顶点和准线上一点的直线即锥面的母线方程是

令上式的比值等而得

因是准线上的点，故适合式，将上式代入，然后再消去t，即得锥面的普通方程。特别地，如果锥面的顶点为坐标原点，准线为

那么锥面的方程就是

事实上，因母线的方程为

又

消去便得

定理

以原点为顶点的锥面方程是关于的齐次方程，反之，一个含的齐次方程的图形总是顶点位于原点的锥面。

事实上．设是曲面上的一点(但不是原点)。即，则直线OP上的任意一点M的坐标为

一定也适合方程，因为

这里的n是所给齐次方程的次数，这表示直线OP上任意一点都在曲面上，因此该曲面是由过原点的直线构成的，根据定义，这曲面是以原点为顶点的锥面。

例题

求以原点为顶点，以椭圆

为准线的锥面(图1)的方程。

解据式

知，所求锥面的方程是

即

这是关于的二次齐次方程，这锥面叫做二次锥面，当a=b时，就是圆锥面。

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最新修订时间：2024-07-01 16:28

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