闭路空间(loop space)是一类特殊的
拓扑空间。
定义
若(Y,y0)为一个
带基点的空间,则所有的
连续映射(S1,s0)→(Y,y0)(S1为一维
球面,s0为它的基点)在
紧开拓扑之下所构成的空间,称为Y的闭路空间,记为ΩY。
性质
概念
拓扑
拓扑是集合上的一种结构。设T为非空集X的子集族。若T满足以下条件:
1.X与空集都属于T;
2.T中任意两个成员的交属于T;
3.T中任意多个成员的并属于T;
则T称为X上的一个拓扑。具有拓扑T的集合X称为拓扑空间,记为(X,T)。
设T1与T2为集合X上的两个拓扑。若有关系T1T2,则称T1粗于T2,或T2细于T1。当X上的两个拓扑相互之间没有包含关系时,则称它们是不可比较的。在集合X上,离散拓扑是最细的拓扑,平凡拓扑是最粗的拓扑。
拓扑空间
拓扑空间是
欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集,在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间,这种抽象空间最早由法国数学家
弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间,1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。
豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合,并使用了“邻域”概念,根据这一概念建立了抽象空间的完整理论,后人称他建立的这种拓扑空间为
豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代,原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究,并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了紧空间的积空间的紧性,他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(
吉洪诺夫空间)的概念。
20世纪30年代后,法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年
布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念,使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念,推广了距离空间,还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间,提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念,他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。
此外,美国数学家斯通研究了剖分空间的可度量性,1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论,为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展,不断取得新的成果。
映射
映射亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系,G的定义域D(G)为X,且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x,y),则称G为从X到Y的映射。即关系G为映射时,应满足下列两个条件:
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).这个被x∈X所惟一确定的y∈Y,通常表示为y=f(x)(x∈X).f(x)满足:
1) f(x)∈Y.
2) G(x,f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y,G(x,z)→z=f(x).
关系G常使用另一些记号:f:X→Y或XY.f与G的关系是y=f(x)(x∈X),当且仅当G(x,y)成立.可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或
自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域。记为D(f)或dom(f).终集Y称为映射的
陪域,记为C(f)或codom(f).Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域,记为R(f)或ran(f)。当y=f(x)时,y称为x的象,而x称为y的
原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。对于AX,所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象.记为f(A).对于BY,所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象。记为f(B)。显然:f(A)=f(x),f(B)=f(y)。
连续映射
设f为从拓扑空间E到拓扑空间F中的映射。称f在E的点x0是连续的,如果对f(x0)在F中的任一邻域W,在E中存在x0的邻域V,使在f下V的象包含在W中;换言之,如果在f下f(x0)的任一邻域的逆象是x0的邻域。
称f在E上是连续的(或简称f是连续的),如果它在E的每一点都连续。
为使f是连续的,必须且只须F的任一闭集经由f的逆象是E的闭集,或F的任一开集经由f的逆象是E的开集。但是E的开集(闭集)经由连续映射的正象不一定是F的开集(闭集)。
从E到F中的常映射是连续的.E的恒等映射是连续的。
任一从离散空间到拓扑空间的映射是连续的。
设E,F及G为拓扑空间,f为从E到F中的连续映射,而g为从F到G中的连续映射,则复合映射g°f是连续的.
当E与F为分别赋以距离d及e的
度量空间时,为使f在x0点连续,其
充分必要条件是:对任一严格正的实数ε,存在严格正的实数η,使得由关系d(x,x0)≤η可推出e(f(x),f(x0))≤ε。若f为定义在R的子集P上的有限数值函数,则使f在x0点连续的充分必要条件是:对任一严格正的实数ε,存在严格正的实数η,使得对P的任一元素x,关系|x-x0| ≤η蕴涵。