雅可比椭圆函数_数理科学领域术语

雅可比椭圆函数

数理科学领域术语

雅可比椭圆函数是双周期的亚纯函数，属于椭圆余弦椭圆正切，与圆函数（三角函数）相似。

雅可比椭圆函数的定义

雅可比椭圆函数有十二种，各对映到某个矩形的顶点连线。此诸顶点记作。

视此矩形为复数平面的一部分，是原点，是实轴上的一点是，是。与称作四分之一周期。

十二个椭圆函数分别记为。为方便起见，取变数意指矩形上的任一对顶点，则函数是满足以下性质的周期亚纯函数:

是单零点，是单极点。

在方向的周期等于距离的两倍。对另两个从出发的方向，亦满足同样性质。

在顶点的展式首项系数均为一。

表列如次：

一般而言，须以平行四边形代替上述矩形，以考虑更一般的周期。

雅可比椭圆函数的性质

特殊点的值

sn(mK+niK±z)诱导公式表

cn(mK+niK±z)

dn(mK+niK±z)

基本关系

可见，雅可比椭圆函数的关系与圆函数（三角函数）相似。

加法定理

由此可见 (cn,sn,dn) 描出射影空间中两个二次曲面之交，这同构于一条椭圆曲线。曲线上的群运算由下列加法公式描述：

函数的平方之间的关系

反函数

用Θ函数来定义

雅可比椭圆函数也可以用Θ函数来定义。如果我们把简写为，把分别简写为（Theta常数），那么椭圆模k是。如果我们设，我们便有：

常微分方程的解[编辑]

三个基本的雅可比椭圆函数的导数为：

根据以上的加法定理，可知它们是以下非线性常微分方程的解：

是微分方程和的解；

是微分方程和的解。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 14:31

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概述

雅可比椭圆函数的定义

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