在向量
微积分中，雅可比矩阵是一阶
偏导数以一定方式排列成的
矩阵，其行列式称为
雅可比行列式。雅可比矩阵的重要性在于它体现了一个
可微方程与给出点的最优线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于
多元函数的
导数。
定义
设U⊂ℝn，f:U→ℝk为光滑映射，fi:=ui∘f:U→ℝ为分量函数，则f在p点的雅克比矩阵为k×n矩阵Df(p)，其(i,j)
矩阵元为Djfi(p)。
简介
在向量分析中，雅可比矩阵是函数的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为
雅可比行列式。
在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群，曲线可以嵌入其中。
假设某函数从 映到， 其雅可比矩阵是从到的线性映射，其重要意义在于它表现了一个多变数向量函数的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于单变数函数的导数。
假设是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成：。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵，这个矩阵就是所谓的雅可比矩阵：
此矩阵用符号表示为：
，或者
如果p是中的一点，F在 p点可微分，根据高等微积分，是在这点的
导数。在此情况下，这个线性映射即F在点p附近的最优线性逼近，也就是说当x足够靠近点p时，我们有
例子
此坐标变换的雅可比矩阵是
的F函数:
其雅可比矩阵为:
此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。
逆矩阵
根据
反函数定理，一个可逆函数（存在
反函数的函数）的雅可比
矩阵的
逆矩阵即为该函数的
反函数的雅可比矩阵。即，若函数在点的雅可比矩阵是连续且可逆的，则F在点 p的某一
邻域内也是可逆的，且有
成立。相反，倘若雅可比行列式在某一个点不为零，那么该函数在这个点的某一邻域内可逆（存在
反函数）。
一个
多项式函数的可逆性与非经证明的雅可比猜想有关。其断言，如果函数的雅可比行列式为一个非零实数（相当于其不存在复零点），则该函数可逆且其反函数也为一个多项式。
MATLAB代码
MATLAB中jacobian是用来计算Jacobi矩阵的函数。
syms r l f
x=r*cos(l)*cos(f);
y=r*cos(l)*sin(f);
z=r*sin(l);
J=jacobian([x;y;z],[r l f])
结果：
J =
[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]
[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
[ sin(l), r*cos(l), 0 ]
面积元证明
二维下dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立
证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元，即小曲边四边形ABCD，其中
A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),这个曲边四边形ABCD可以近似看成由微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成。
(u+△u,v)-(u,v)=Mdu
(u,v+△v)-(u,v)=Ndv
当变化量很小时，
将(u+△u,v)-(u,v)近似看为dx(u,v)
(u,v+△v)-(u,v)近似看为dy(u,v)，
故dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv
式中M*N为二维Jacobi行列式的展开形式。
由此得证。