半群是最简单、最自然的一类代数系统。一个非空集合S连同定义在它上面的一个结合的(即满足结合律的)二元运算“·”的代数系统(S，·)称为一个半群。半群(S，·)简记为S。

马尔可夫半群亦称马尔可夫转移半群。是一种算子。指由齐次马尔可夫过程的转移函数定义的半群算子。设(E，E)为可测空间，B(E)为E上所有E可测有界实值函数的空间。在B(E)中引入范数‖f‖=sup|f(x)|，则B(E)就成为巴拿赫空间。令{X(t)，t∈R+}是以(E，E)为相空间的齐次马氏过程，它的转移函数为P(t，x，B).在B(E)上定义算子Tt：

则TtB(E)⊂B(E)，TtTs=Tt+s，且Tt为有界线性算子。因此，算子族{Tt}t∈R+构成算子半群，这就是马尔可夫(转移)半群。由于这个半群总可完全惟一地决定过程的转移函数，考虑马尔可夫过程相应的算子半群是很有好处的。由此而发展了一整套马尔可夫半群理论。

人们还可以考虑另一个半群：设M(E)表示(E，E)上有限符号测度的巴拿赫空间，其上的范数定义为全变差，即 ，其中 为E关于μ的任一分解，对每一t∈R+，令

则：{Tt}t∈R+构成M(E)上的有界线性算子半群。

算子Tt与T*t有着共轭的关系。但这种关系不是完全的，因为B(E)与M(E)中一般没有一个是另一个的整个共轭空间。虽然如此，人们还是只需研究两个半群中的一个就可以了。一般地，研究{Tt}较为方便些。

对于非齐次情形，也相应有类似的带有两个参数的半群算子族{Ts，t}与{T*s，t}。

半群是最简单、最自然的一类代数系统。一个非空集合S连同定义在它上面的一个结合的(即满足结合律的)二元运算“·”的代数系统(S，·)称为一个半群。半群(S，·)简记为S。

半群是群的推广。群自然是半群；反之显然未必。半群也是环的推广。环在只考虑它的乘法运算的时候是一个半群，称为环的乘半群；但任何一个带零半群却未必是某个环的乘半群。半群代数理论的系统研究始于20世纪50年代(虽然，这方面的工作可追溯到1904年苏士凯维奇(Suschkwitz，A.K.)关于有限半群的论文)。在数学内部和外部的巨大推动下，半群理论已成为代数学的一个公认的分支学科，并早已以其特有的方法独立于群论和环论之外.在20世纪60年代，苏联和美国率先出版了两本专著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)与普雷斯顿(Preston，G.B.)的两卷《半群代数理论》，这对半群代数理论的发展，在国际上起了巨大的推动作用。由德国斯普林格出版社出版的《半群论坛》更是有关半群理论的一个重要的国际性专门刊物。许多数学家在世界各地开展半群理论的研究和各层次高级人才的培养(直到博士后).半群代数理论是半群理论中最基本、最活跃、也最富成果的一部分。此外，尚有半群的分析、拓扑和序理论。

算子半群是依赖于参数且对乘法运算封闭的算子族。设X是线性空间，Tt(t≥0(或t>0))是X上的线性算子。如果对任何t1，t2≥0(或>0)，有Tt1Tt2=Tt1+t2，则称{Tt|t≥0(或t>0)}为单参数算子半群，或简称算子半群。显然，算子半群即把参数t的加法半群(因限制t≥0或t>0故仅是加法半群)变成算子(按算子乘法)的半群。对于半群{Tt|t≥0}，通常总加上假设T0=I。在泛函分析中，通常要假设X是巴拿赫空间或拓扑线性空间(重要的是局部凸拓扑线性空间)，并且把{Tt|t≥0(或t>0)}视定义在[0，+∞)(或(0，+∞))上算子值函数时，还要假设有某种连续性，具体可见C0类算子半群，C0类等度连续算子半群，解析算子半群等。上面谈的是线性算子半群，此外还有非线性算子半群。

算子半群理论是泛函分析的重要分支之一，主要研究各种类型的算子半群和生成元的特征，以及指数公式的各种表达形式。它在微分方程、概率论(马氏过程)、系统理论、逼近论和量子理论中是经常出现的。

马尔可夫过程简称马氏过程。一类重要的随机过程。设{X(t)，t∈R+}为定义在概率空间(Ω，F，P)上取值于可测空间(E，E)的随机过程，{Ft}t∈R为(Ω，F)的上升σ域族，Ft=σ(X(s)，s∈[t，+∞))。如果下面的性质1成立：

则称过程{X(t)}为马尔可夫过程，可测空间(E，E)称为马尔可夫过程{X(t)}的状态空间。一般情形下，因为要考虑形如{X(t)=x}集合的概率，人们还要求E包含所有单点集{x}。性质1与下列性质之一等价：

2.ᗄt∈R+， B∈Ft： P(B|Ft)=P(B|X(t)).

3.ᗄt∈R+， A∈Ft： P(A|Ft)=P(A|X(t)).

注意，若性质1，2，3成立，则把其中的{Ft}换成{X(t)}的自然σ域族{Ft}后相应的性质仍成立。而且这时性质2有如下的直观意义：当已知系统在时刻t以前(含t)的历史时，系统在t以后的发展只依赖于系统在时刻t的状态而与它在t以前的情况无关。此即所谓马尔可夫性，这正是马尔可夫过程的本质所在。

应当指出，尽管一些著作中也把马尔可夫性称为无后效性，但它和多数著作(包括本书)中提到的无后效性是不一样的。后者是指过程的独立增量性质。相对于此，马尔可夫性只是一种条件无后效性。

完备的赋范线性空间被称为巴拿赫空间，是泛函分析研究的基本内容之一。

20世纪以来，当人们研究了许多具体的无限维空间及其上面相应的收敛性以后，自然而然地转向抽象形态的线性空间以及按范数收敛的概念。德国数学家希尔伯特、法国数学家弗雷歇和匈牙利数学家里斯在1904—1918年间所引入的函数空间是建立巴拿赫空间理论的基础。在这些空间里，强收敛、弱收敛、紧性、线性泛函、线性算子等基本概念已经得到初步研究。

1922—1923年，波兰数学家巴拿赫、奥地利数学家哈恩和美国数学家N.维纳等分别独立地引入了赋范线性空间的概念，并以巴拿赫的姓氏来命名。1922年，巴拿赫开始根据他所引入的公理来系统研究已有的函数空间，得到深刻的结果;同一年，哈恩从当时分析数学的许多成果中提炼出

1922—1923年巴拿赫得到压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先后证明了完备赋范空间上泛函延拓定理，引入了赋范线性空间的对偶空间(当时称之为极空间)，这个定理的推广形式后来在局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年，巴拿赫写成《线性算子理论》。至此，完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，并且在不到十年的时间内便发展成本身相当完整而又有多方面应用的理论。