一阶导数的导数称为
二阶导数，二阶以上的导数可由
归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的
导数统称为高阶导数。从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。
简介
一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的
导数可由
归纳法逐阶定义。二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数。从概念上讲，高阶导数可由一阶导数的运算规则逐阶计算，但从实际运算考虑这种做法是行不通的。因此有必要研究高阶导数特别是任意阶导数的计算方法。
函数 的导数 仍是 x 的函数，通常把导函数 的导数叫做函数的
二阶导数，记作 即
或者可以写成：
类似地，二阶导数的导数叫做
三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…… . 一般地，n-1阶导数的导数叫做 n 阶导数，即
分别记作
或者写为
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。
从概念上讲，高阶导数计算就是连续进行一阶导数的计算。因此只需根据一阶导数计算规则逐阶求导就可以了，但从实际计算角度看，却存在两个方面的问题：
（1）一是对抽象函数高阶导数计算，随着求导次数的增加，中间变量的出现次数会增多，需注意识别和区分各阶求导过程中的中间变量。
（2）二是逐阶求导对求导次数不高时是可行的，当求导次数较高或求任意阶导数时，逐阶求导实际是行
不通的，此时需研究专门的方法。
高阶导数的计算法则
从理论上看，逐次应用一阶导数的求导规则就可得到高阶导数相应的运算规则。然而，对于和、差的导数计算的
线性规则，这种推导是方便的，而对
乘积求导的
非线性运算规则，其推导过程和结果就未必简单了。
1. 和的n阶导数：
2. 积的 n 阶导数 ─莱布尼兹公式：
设函数 在点x都具有 n 阶导数，则由一阶导数乘积的运算法则有
可见导数阶数越高，相应乘积的导数越复杂，但其间却有着明显的规律性，为归纳其一般规律，乘积的 n 阶导数的系数及导数阶数的变化规律类似于二项展开式的系数及指数规律。于是由归纳法可求得：
例：设 存在，求
分析：这是半抽象
复合函数求二阶导数问题。由于已知 存在，故只需按导数规则逐阶求导即可。
解：
例：已知 ，求 。
分析：对此连乘积形式的函数求二阶导数，直接按乘乘积求导法则求导显然比较繁杂，故可考虑将乘积化为和差再按和的求导法则计算。
由此便容易求得：
于是求得：
任意阶导数的计算
对任意n阶导数的计算，由于 n 不是确定值，自然不可能通过逐阶求导的方法计算。此外，对于固定阶导数的计算，当其阶数较高时也不可能逐阶计算。
所谓n阶导数的计算实际就是要设法求出以n为参数的导函数表达式。求n阶导数的参数表达式并没有一般的方法，最常用的方法是，先按导数计算法求出若干阶导数，再设法找出其间的规律性，并导出n的参数关系式。
例：设 ，求
分析：这是
基本初等函数求任意阶导数的问题，其求导任务实际是寻求导函数表达式与导数阶数 n 的关系。为找出其间的规律性，可先具体计算若干阶导数，再设法确定一般规律。
解：用归纳法寻求任意阶导函数表达式：
通过若干阶导数的计算可看出，cosx的高阶导数具有一种循环性，其循环规律涉及两个因素，一是总在
sin x 和
cos x 之间交互转换，二是符号交互变化。
由于涉及两个变化因素，使得确定导数规律相对困难，故考虑改写各阶导数形式，以减少其间变化因素，并使其和导数阶数发生联系。
由此可见，cosx的n阶导数可一般地写成：
类似地可求得：
常用的高阶导数公式