L-函数是有算术有意义和算术背景的复变量的复值函数.例如黎曼在研究高斯和勒让德提出的素数定理时,引出了和素数分布有关的复变量的黎曼zeta-函数.

一般地, 对于一个数学对象, 我们可定义一复数列, 形如

且具有Euler积性的Dirichlet级数, 我们称其为关于的-函数。

一般地说,-函数来源由两类组成: 算术L-函数和自守L-函数. 这两者又是密切联系在一起的, 根据罗伯特·朗兰兹的猜想, 笼统地说, 一切有意义的L-函数都来自自守L-函数.

简单地说,

同样地，狄利克雷在研究算术级数中的素数分布时，引入了Dirichlet L-函数：

Dedekind zeta-函数: 设为一代数数域，

椭圆曲线的Haass-Weil L-函数: 设为一非奇异的椭圆曲线定义为曲线在有限域上的解, 设, 则下面的级数称为关于曲线的Haass-Weil L-函数

阿廷L-函数: 设是一个有限维的伽罗瓦表示,其中为一代数数域,

全纯模形式的L-函数, Maass L-函数, 标准L-函数等等.

根据罗伯特·朗兰兹在国际数学家大会上的报告所指, 研究一个L-函数主要有三部分内容:

L-函数的解析延拓和函数方程这是最基本的一部分. 对于一般的自守L-函数这是较容易得到的, 但是对算术的L-函数这一部分并不是容易得到的. 例如, 对于Haass-Weil L-函数, 这部分就是谷山-志村猜想, 该猜想一部分就能推出费尔马大定理. 关于阿廷L-函数的全纯解析沿拓的阿廷猜想也是数论中重要的未知问题.

对于数学对象的L-函数, 我们定义其的gamma因子为

其中为复参数.

定义下面关于的完全-函数

那么, 一般地我们有函数方程

其中为模为1的复数,为关于的对偶对象.

非零区域: 如黎曼zeta函数的目前最好的非零区域为

黎曼猜想和广义黎曼猜想问题:

在假设黎曼猜想下, 零点虚部的分布问题与随机矩阵的联系等等.

中心值, 临界点, 整点的值, 极点的留数等. 这里面也有很多猜想, 像BSD猜想, 类数问题, Deligne 猜想，Beilinson 猜想，Goldfeld猜想. 其实往往我们重要的不仅是关心它具体有多大，而是关心的这个量里面隐含着什么样的算术意义。像Dedekind zeta 函数在s=1处的留数，里面包含了一个数域的很多不变量：类数，判别式，regular等；BSD猜想就是Haass-Weil L-函数在中心点的的阶就是该椭圆曲线的秩！

对于一个研究对象如素数, 伽罗瓦扩张, 椭圆曲线, 代数簇等等, 我们可根据其性质构造出一个复变量的L-函数. -函数的解析性质: 零点和极点, 函数方程, 展开系数, 特殊点的值等等, 往往能够充分反映的算术, 几何, 或代数性质.

关于L-函数的研究,有许多未解决的公开问题,在这些问题中,尤以下面三个最为著名.

广义Riemann猜想

L-函数所有非平凡的零点均位于线上.

广义Lindelof猜想

在(3.1)的函数方程中, 有猜想:

其中为任意小的正实数.

广义Ramanujan猜想

在(3.1)的函数方程中,猜想对非分歧的有和.