设p是一个质数；则可定义一个G的西罗p-子群（有时称为p-西罗子群），其为G的最大p-子群（即一个其为p-群且不为其他G之p-子群的纯子群之子群）。所有给定一质数p之西罗p-子群所组成之集合有时会写成Sylp(G)。在一种或另一种意思下皆为最大之子群的集合在群论中并没有不一样。这里很不可思议的为在Sylp(G)内的例子，每个元素都会实际地共轭于另一个元素；且此一性质可以被用来决定G的其他性质。

第一Sylow定理：设G是以阶为的有限群，r≥1，p是素数，（p,m）=1，对每个，G中含有阶的子群，并且G中每个阶的子群是某个阶子群的正规子群。

第二Sylow定理：设H是有限群G的一个p-子群，P是G的一个Sylow p-子群，则存在x属于G，使得H包含于，特别地，G的任意两个Sylow p-子群共轭。

第三Sylow定理：设G是一个有限群，p是一个素数，则G的Sylow p子群的个数n是|G|的一个因子，且n≡1(mod p)。

考察G中所有阶子集Ω，则|Ω|=。令G左乘作用于Ω，则对任意M∈Ω有群N固定之，所以MN=M 即M为N的陪集合，故|N| | |M|所以|N|=（x≤i）。由于任意轨道大于均被整除，所以所有的轨道总数|Ω|(mod)（其中k为轨道数），由于此式对循环群也成立但循环群只有一个阶群，故有|Ω|≡(mod)。因此k≡1(mod p)，即存在阶群，定理一得证。

由于MN=M且|M|=|N|故有M=mN，因此M的轨道为群的所有陪集合，因此每个轨道对应不同的阶群，故定理三得证。

考察如上的任一Sylow p子群P的左陪集合，让H作用于它。由（m，p）=1有不动点陪集存在，即HgP=gP由此得，因此H∈，定理二得证。

至于定理一后半部分，由G关于HxH的重陪集分解的陪集数为1的分解数等于[N(H):H]，知p | [N(H):H]（N(H)为H的共轭固定群），又由Cauchy定理N(H)/H存在p阶群K，即可得到H⊿KH且|KH|=，至此Sylow定理证毕。

引理：若G只有一个Sylow-p子群那么这个Sylow-p子群正规于G

证明：设P是G的一个Sylow-p子群，则对于G内任意一个元素g，仍是G的一个Sylow-p子群

而由Slyow定理，所有Sylow-p子群两两共轭

∴

∴P正规于G

例1： 15阶群一定是循环群

证明：设G是一个群，且|G|=15

则Slyow-3子群的个数|，且=1（mod 3），即=（1+3k）|5 ∴=1，即G只有一个Sylow-3子群

∴这个Sylow-3子群是G的正规子群

同理：G只有一个Sylow-5子群，且这个Sylow-5子群是G的正规子群

又∵（3,5）=1，而Sylow-3子群∩Sylow-5子群={e}，|Sylow-3子群|*|Sylow-5子群|=3*5=15=|G|

∴ab=ba其中a为Sylow-3子群生成元，b为Sylow-5子群生成元。（否则由，即这会推出与其不相交矛盾。）

∴由交换群的阶相乘性质ab的阶位15，故其循环。

例2：350阶群不是单群

证明：∵ 350 = 5^2*14

∴由Slyow定理：Slyow-5子群的个数N5|14，且N5 = 1(mod 5)，即N5=（1+5k）|14

∴N5=1

∴由例①中的引理：G必然会有一个阶为25的正规子群

∴350阶群不可能为单群

UK. 2000. link

《近世代数三百题》 冯克勤 章璞 编著　高等教育出版社

《近世代数讲义》 杨劲根 编著　科学出版社