一致连续映射(uniformly continuous mapping)是一致空间上的一类重要映射。

一致连续映射(uniformly continuous mapping)是一致空间上的一类重要映射。设(X，U)，(Y，V)是两个一致空间，f：X→Y。若对于任意V∈V，存在U∈U使得当(x，y)∈U时有(f(x)，f(y))∈V，则称f关于U和V是一致连续的，简称f是一致连续映射。两个一致连续映射的复合映射是一致连续的。每个一致连续映射关于一致拓扑是连续的。若(X，U)关于一致拓扑是紧的，则所有连续映射f：X→Y是一致连续的。

映射亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系，G的定义域D(G)为X，且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x，y)，则称G为从X到Y的映射。即关系G为映射时，应满足下列两个条件：

1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).

2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).这个被x∈X所惟一确定的y∈Y，通常表示为y=f(x)(x∈X).f(x)满足：

1) f(x)∈Y.

2) G(x，f(x))成立(x∈X).

3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).

关系G常使用另一些记号：f：X→Y或XY.f与G的关系是y=f(x)(x∈X)，当且仅当G(x，y)成立。可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域。记为D(f)或dom(f)。终集Y称为映射的陪域，记为C(f)或codom(f)。Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域，记为R(f)或ran(f)。当y=f(x)时，y称为x的象，而x称为y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。对于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象。记为f(A)。对于BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}称为B的原象。记为f(B)。显然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。

一致空间是一致结构上的空间。一致结构是指集合上的一种结构。设X为集合，U为X×X的非空子集族。若U满足下列条件，则称U是X上的一致结构：

1.U的每一个元包含对角线Δ.

2.若U∈U，则U∈U，其中

U={(x，y)|(y，x)∈U}.

3.若U∈U，则存在V∈U使得V°VU，其中

4.若U，V∈U，则U∩V∈U.

5.若U∈U并且UVX×X，则V∈U.

具有一致结构U的集合X称为一致空间，记为(X，U)。一致空间的概念是韦伊(Weil，A.)于1938年引入的。布尔巴基(Bourbaki，N.)于1940年首先给予系统的论述。图基(Tukey，J.W.)于1940年用覆盖族定义并研究了一致空间的等价的概念。艾斯贝尔(Isbell，J.R.)于1964年出版的书中，包含了用覆盖叙述的一致空间理论的重要发展。一致空间也可用伪度量族来描述，它是由布尔巴基于1948年给出的。

一致拓扑是由一致结构诱导的拓扑。设(X，U)为一致空间，T是X的子集，满足：对于任意x∈T，存在U∈U使得U(x)T，其中U(x)={y|(x，y)∈U}。所有这种T组成的集族T是X上的一个拓扑，称为由一致结构U诱导的拓扑或一致拓扑。当由一致结构U诱导的拓扑空间X为紧空间时，则和X的拓扑一致的一致结构是惟一确定的。一致空间是完全正则的，并且完全正则空间具有和它的拓扑一致的一致拓扑。即有下述结果：集合X上的拓扑T为X上的某个一致结构的一致拓扑的充分必要条件是，(X，T)为完全正则空间。

一致连续亦称均匀连续。反映函数均匀变化的性质。设f是从集合ER到R的实函数，若对任意ε>0，存在δ>0，使：

sup{|f(x1)-f(x2)|x1，x2∈E，|x1-x2|<δ}<ε，

或对x1，x2∈E，|x1-x2|<δ，有|f(x1)-f(x2)|<ε，则f称为在E上一致连续。函数f∶E(R)→R一致连续的定义可完全类似给出，只要把|·|理解为R或R中的范数|·|.相对于一致连续，把f在E上连续称为逐点连续。一致连续函数必逐点连续，反之不一定.但在R的有界闭集上连续的函数必一致连续。若f定义在开区间(a，b)上，则f一致连续当且仅当f连续，且f(a+)与f(b-)存在且有限。例如，对函数g(x)=1/x，有g(0+)=+∞，故g不在(0，+∞)上一致连续。一致连续函数把柯西列映为柯西列，即若f一致连续，{xn}是柯西列，则{f(xn)}也是柯西列；反之，定义在有界集上，把柯西列映为柯西列的函数必一致连续。一致连续函数的线性组合一致连续。两个一致连续函数的复合函数一致连续。一致连续性是由海涅(Heine，H.E.)于1870年引入的。