设O为面上一点,过
平面外一点B的直线BO在面上的
射影为AO,OC为面上的一条直线,那么∠COB,∠AOC,∠AOB三角的
余弦关系为:cos∠BOC=cos∠AOBcos∠AOC(∠AOC,∠AOB只能是
锐角)
证明
如右图,可知AB⊥平面α,取OC上一点C使得∠OCA=90°,即OC⊥AC。
在Rt△BOA中
①
在Rt△COA中
②
在Rt△COB中
③
比较①、②、③三式可知
即得证
例题使用
如右图,点O是正方形纸片ABCD的
中心,点E,F分别为AD,BC的
中点,现沿
对角线AC把纸片折成直二面角,则纸片折后∠EOF的大小为多少?
考点:折叠角公式的应用
专题:计算题(折叠角公式的应用)
分析:过点F作FG垂直于AC,G在AC上,连接GE,由折叠角公式可得cos∠EOF=cos∠FOG·cos∠GOE,根据
正方形的性质及
等腰直角三角形的性质,易得∠AOF=135°,∠AOE=45°,进而可以求出∠EOF的余弦值,进而得到∠EOF的大小.
解答:解:过F作FG垂直于AC,G在AC上,连接GE;
∴FG⊥平面ACD(直二面角的性质),
由
折叠角公式得:cos∠EOF=cos∠FOG·cos∠AOE…(1)
∵∠FOG=180°-∠AOF,∠GOE=180°-∠AOE(
邻补角定义),代入(1)得:
cos∠EOF=(-cos∠AOF)·(-cos∠AOE),
即cos∠EOF=cos∠AOF×cos∠AOE.
由∠AOF=135°,∠AOE=45°
∴cos∠EOF=cos135°·cos45°=-0.5
则∠EOF=120°
点评:本题考查的知识点是与
二面角有关的
立体几何综合题,其中过F作FG垂直于AC,为折叠角公式的使用创造条件,是解答本题的关键.
注明:折叠角公式以及
三正弦定理的应用为立体几何的解题带来了许多方便。
公式特点
辅助记忆:这三个角中,∠COB是最大的,其余弦值最小,等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成∠AOB是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。
(运用时可以背诵成,横的角乘以竖的角等于斜的角)
推论一
PO是平面α的一条斜线,PH⊥α,垂足为H,l为平面α内任意一条直线
(与OH的射影不重合也不平行),设PO与直线l所成角为θ,PO与平
面α所成角为θ1,OH与直线l所成较小角为θ2,则cosθ=cosθ1cosθ2
推论二
推论三
∠AOC=∠AOB×∠BOC,则面AOB⊥面BOC