平面几何中,一点关于给定
三角形的三线坐标描述了它到三角形三条边的相对距离。三线坐标是
齐次坐标的一个例子,经常简称为三线。
内心有
三线 1:1:1,这就是说,从三角形 ABC 的内心到边 BC、 CA、AB 的有向距离和实际距离有序三元组 (r, r, r) 成比例,这里 r 是三角形 ABC
内切圆的半径。注意到记号 x:y:z 用比例冒号区分三线和实际有向距离。实际距离有序三元组 (kx, ky, kz),能从比例 x : y : z 得到,
这里 a, b, c 分别是边长 BC、 CA、 AB, σ = ABC 的面积。(“逗号记法”应该避免使用。因为记号 (x, y, z) 意味着是一个有序
三元组,不允许 (x, y, z) = (2x, 2y, 2z) 之类运算;然而“比号记法”允许 x : y : z = 2x : 2y : 2z。)
注意到,
内心一般不是
重心,重心有重心坐标 1:1:1(它们和实际有向面积 BGC、 CGA、AGB 成比例,这里 G = 重心)。
是共线的,当且仅当行列式等于 0。这性质的对偶是三条
直线三线坐标和2维
笛卡尔坐标之间存在转换公式。给定一个参考三角形ABC,将顶点B的位置表示成一个笛卡尔坐标的有序组,将其代数地写成一个以顶点C为起点的
向量a。类似地定义顶点A为b。然后任何点P关于参考三角形ABC能定义一个2维
笛卡尔坐标系,写成向量p= αa+ βb。如果点P有三线坐标x:y:z,那么变换公式是: