与
三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,圆心叫做三角形的内心,三角形叫做圆的
外切三角形,三角形的内心是三角形三条
角平分线的交点。
三角形一定有内切圆,其他的图形不一定有内切圆(一般情况下,n边形无内切圆,但也有例外,如
对边之和相等的
四边形有内切圆。),且内切圆圆心定在三角形内部。
ABC的内切圆就是A'B'C'的
外接圆。而A'A、B'B和C'C三线交于一点,它们的交点就是勒莫恩点(Lemoine point)(或称
热尔岗点(Gergonne point)),或类似重心,即三条
类似中线的交点。内切圆与
九点圆相切,
切点称作
费尔巴哈点(见九点圆)。
若以三角形的内切圆为反演圆进行反演,则三角形的三条边和
外接圆会分别变为半径相等的四个圆(半径都等于内切圆半径的一半)。
三角形的
外接圆半径R、内切圆半径r以及内外心间距OI之间有如下关系:
在直角三角形的内切圆中,有这样两个简便公式,其中,r是Rt△内切圆的半径,a, b是Rt△的2个
直角边,c是
斜边: